DP斜率优化总结
任务安排1
首先引入一道题，先(O(N^2))做法：分别预处理出(T_i,C_i)前缀和(t[i],c[i])，设(f[i])，其中(f[i])并不表示前(i)个任务花费的时间，而是壳含前面所有决策对于后面的影响。这道题dp思路就是边决策边加上当前决策对于后面的影响（一种“费用提前计算”的思想）
转移方程：
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define MIN(A,B) ((A)<(B)?(A):(B))
#define MAXN 5005
using namespace std;
int f[MAXN];
int sumt[MAXN],sumc[MAXN];
int n,s;
int main(){
memset(f, 0x3f, sizeof(f));
f[0]=0;
scanf("%d
%d", &n, &s);
for(int i=1;i<=n;++i){
int t,c;
scanf("%d %d", &t, &c);
sumt[i]=sumt[i-1]+t;
sumc[i]=sumc[i-1]+c;
}
for(int i=1;i<=n;++i)
for(int j=0;j<i;++j){
f[i]=MIN(f[j]+(sumc[i]-sumc[j])*sumt[i]+s*(sumc[n]-sumc[j]), f[i]);
}
printf("%d", f[n]);
return 0;
}
任务计划2
斜率优化做法。将原转移方程移项，让只含(j)的式子移到左边，其余移到右边，再将右边含(j)的式子提公因式，得到
此时将外层循环到的(i)看做已知量（则关于(i)的变量(t[i],c[i])为常数），看做一个斜率确定的一次函数(y=kx+b)，其中(f[j])看做函数的(y)，(c[j])看做函数的(x)，((t[i]+s))为斜率。要让(f[i])最小即让此一次函数截距最小。
(图自ButterflyDew)
而容易得到：将此确定的斜率函数从最下面向上平移遇到的第一个点((c[j],f[j]))就是能取到最小截距（最优(f[i])）的点，（满足(k_1le k_0le k_2)），如图，也就是一个下凸壳的顶点。
而像这样的上凸壳顶点如图显然一定不会是最优解，所以我们维护一个下凸壳，每次找到顶点即为最优。
而这道题我们不需要维护整个下凸壳，而只维护下凸壳顶点及顶点右侧的点（因为左侧不可能比顶点优）。我们维护一个单调队列，使队首为下凸壳顶点，每次最优即为队首元素。维护时先将下凸壳顶点左边的所有点弹掉（若当前点与下一个点构成的直线斜率小于等于(s+t[i])，则当前点在左边），之后队首就是下凸壳的顶点，取出并算出的(f[i])即为最优，最后再将所有构成上凸壳的点删去维护一下下凸壳。
单调队列部分实现代码：
while(l<r&&f[q[l+1]]-f[q[l]]<=(S+t[i])*(c[q[l+1]]-c[q[l]])) l++; // 弹出顶点左边的点
f[i]=f[q[l]]+t[i]*c[i]+S*c[n]-c[q[l]]*(S+t[i]);
while(l<r&&(f[i]-f[q[r]])*(c[q[r]]-c[q[r-1]])<=(f[q[r]]-f[q[r-1]])*(c[i]-c[q[r]])) r--; // 维护下凸壳
q[++r]=i;
完整代码：
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define MIN(A,B) ((A)<(B)?(A):(B))
#define MAXN 5005*2
using namespace std;
int f[MAXN],q[MAXN];
int t[MAXN],c[MAXN];
int n,s;
int main(){
memset(f, 0x3f, sizeof(f));
f[0]=0;
scanf("%d
%d", &n, &s);
for(int i=1;i<=n;++i){
int tt,tc;
scanf("%d %d", &tt, &tc);
t[i]=t[i-1]+tt;
c[i]=c[i-1]+tc;
}
int l=1,r=1;
for(int i=1;i<=n;++i){
while(l<r&&(f[q[l+1]]-f[q[l]])<=(t[i]+s)*(c[q[l+1]]-c[q[l]])) l++;
f[i]=f[q[l]]-c[q[l]]*(t[i]+s)+s*c[n]+c[i]*t[i];
while(l<r&&(f[q[r]]-f[q[r-1]])*(c[i]-c[q[r]])>=(f[i]-f[q[r]])*(c[q[r]]-c[q[r-1]])) r--;
q[++r]=i;
}
printf("%d", f[n]);
return 0;
}
任务安排3
因为(T_i)可能为负数，所以直线斜率(s+t[i])不单增，所以不能直接单调队列取队首，而是二分查找出两条斜率为(k_1,k_2)的直线满足(k_1le s+t[i]le k_2)，两条直线交点即为最优点。
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define MIN(A,B) ((A)<(B)?(A):(B))
#define MAXN 300003
#define ll long long
using namespace std;
ll f[MAXN];
int q[MAXN];
ll t[MAXN],c[MAXN];
int n,s;
int l=1,r=1;
inline int query(ll k){
int L=l,R=r,ans;
while(L<=R){
int mid=(L+R)>>1;
if((f[q[mid]]-f[q[mid-1]])<=k*(c[q[mid]]-c[q[mid-1]])) L=mid+1,ans=mid;
else R=mid-1;
}
return q[ans];
}
int main(){
memset(f, 0x3f, sizeof(f));
f[0]=0;
scanf("%d
%d", &n, &s);
for(int i=1;i<=n;++i){
ll tt,tc;
scanf("%lld %lld", &tt, &tc);
t[i]=t[i-1]+tt;
c[i]=c[i-1]+tc;
}
for(int i=1;i<=n;++i){
int j=query(t[i]+s);
f[i]=f[j]-c[j]*(t[i]+s)+s*c[n]+c[i]*t[i];
while(l<r&&
(f[q[r]]-f[q[r-1]])*(c[i]-c[q[r]])>=(f[i]-f[q[r]])*(c[q[r]]-c[q[r-1]])) r--;
q[++r]=i;
}
printf("%lld", f[n]);
return 0;
}
百日旅行
(N)天，如果连续(x)天旅游，则花费(p imes x imes x)，否则连续(x)天吃饭，花费(Q imes x)，问最小花费
设计dp，(f[i])表示第(i)天最小花费并且这一天在旅游，(g[i])表示在这一天吃饭，转移方程：
f[i]=min(g[j]+SQR(i-j)*p,f[i])
g[i]=min(f[j]+(i-j)*q,g[i])
观察(g[i])，(g[i]=i*q+f[j]-j*q)，所以维护(1)到(i-1)的(f[i]-i*p)最小值即可。
观察(f[i])，(f[i]=g[i]+p*i^2-2*p*i*j+p*j^2)
移项，使只含(j)的式子在左边，其余右边，得(g[j]+p*j^2=i*(2*p*j)+f[i]-p*i^2)
此时看做一个一次函数，(x=2*p*j,k=i,b=f[i]-p*i^2)，要想(f[i])最小，即让截距最小，维护一个下凸壳。又发现斜率(i)单增，可使用单调队列。
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define ll long long
#define MAXN 200002
#define MIN(A,B) ((A)<(B)?(A):(B))
#define j (q[l])
#define SQR(A) ((A)*(A))
#define Y(A) (g[A]+P*(A)*(A))
#define X(A) ((A)*2*P)
using namespace std;
int n,l,r;
ll f[MAXN],g[MAXN],q[MAXN],P,Q;
int main(){
scanf("%d %lld %lld", &n, &P, &Q);
l=1,r=1;
ll t=0;
for(int i=1;i<=n;++i){
while(l<r&&(Y(q[l + 1]) - Y(q[l])) <= i*(X(q[l+1]) - X(q[l]))) ++l;
f[i]=g[j]+P*SQR(i-j);
g[i]=i*Q+t;
t=min(f[i]-i*Q,t);
while(l<r && (Y(q[r]) - Y(q[r-1])) * (X(i) - X(q[r])) >= (Y(i) - Y(q[r])) * (X(q[r]) - X(q[r-1]))) --r;
q[++r]=i;
}
printf("%lld", min(f[n], g[n]));
return 0;
}
/*
g[i]=i*q+f[j]-j*q
g[j]+p*j^2=i*(2*p*j)+f[i]-p*i^2
*/