主定理复习

主定理复习

符号

(Theta)，读西塔，严格等于
(O)，读殴，上界，贴紧为未知
(o)，读殴，小于，不贴紧
(Omega)，下界，大于等于，贴近未知
(w)，读同上，下界，大于，不贴紧

假设有递推公式
(T(n)=aT(frac{n}{b})+f(n))

三种情况：

• 对某个数(varepsilon>0)，有(f(n)=O(n^{(log_ba)-varepsilon}))，则(T(n)=Theta(n^{log_ba}))
• 若存在常数(kge0)，有(f(n)=Theta(n^{log_ba}log_2^kn))，则(T(n)=Theta(n^{log_ba}log_2^{k+1}\,n))
• 若存在常数(varepsilon>0)，有(f(n)=Omega(n^{log_ba+varepsilon}))，且对于某个常数(c<1)和所有足够大的(n)有(af(frac{n}{b})le cf(n))，则(T(n)=Theta(f(n)))

例子

(T(n)=9T(frac{n}{3})+n)
有(a=9,b=3,f(n)=n)，因为有(varepsilon =1, f(n)=n=O(n^{log_39-1}))，满足情况1，所以(T(n)=Theta(n^2))

[NOIP2017初赛] (T(n)=2T(n/2)+nlogn,T(1)=1)
有(a=2,b=2,k=1,f(n)=Theta(nlogn))，所以(T(n)=Theta(nlog_2^2n))

[NOIP2016初赛] (T(n)=2T(n/4)+sqrt{n},T(1)=1)
有(a=2,b=4,k=0,f(n)=sqrt{n}=Theta(n^{log_42}log_2^0n))，所以(T(n)=Theta(sqrt{n}log_2n))