倍增总结

倍增

ST表

预处理

(f[i][j])表示从(i)开始的长度为(2^{j})的区间（即区间([i, i+2^{j}-1])）

递推公式（j在外层递增）：

(f[i][j]=max{f[i][j-1], f[i+2^{j-1}][j-1]})

即将区间([l, r])分为两个区间合并

查询

分为两段，第一段为区间([l, 2^k])，第二段为区间([r-2^k+1, r])，其中(k)为满足(2^{k}le r-l+1)的所有数中最大的那个数

即区间([l,r])的最大值为(max{f[l][k], f[r-2^{k}+1][k]})

例子

忠诚 洛谷 P1816

多次查询区间最小值

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
int m,n;
#define MAXN 100001
#define LOG 18
int st[MAXN][LOG];
int lg2[MAXN];
int main(){
    scanf("%d %d", &n, &m);
    memset(st, 0x3f, sizeof st);
    for(int i=1;i<=n;++i) scanf("%d", &st[i][0]);
    for(int len=1;len<LOG;++len)
        for(int i=1;i+(1<<len)-1<=n;++i)
            st[i][len]=min(st[i][len-1], st[i+(1<<(len-1))][len-1]);
    for(int i=2;i<=n;++i) lg2[i]=lg2[i>>1]+1;
    while(m--){
        int l,r;scanf("%d %d", &l, &r);
        int sz=lg2[r-l+1];
        printf("%d ", min(st[l][sz], st[r+1-(1<<sz)][sz]));
    }
    return 0;
}

树上倍增

求解LCA

预处理

首先结合dfs预处理出(f[i][j])，(f[i][j])表示节点(i)向上跳(2^{j})层的节点

递推公式：

(f[i][j]=f[f[i][j-1]][j-1])

即节点(i)分两次向上跳，每次跳(2^{j-1})层跳到的节点就是节点(i)向上跳(2^{j})层的节点（(2^{j-1} imes 2=2^{j})）

void load(int x, int fa){
    f[x][0]=fa;
    dep[x]=dep[fa]+1;
    for(int i=1;i<20;++i)
        f[x][i]=f[f[x][i-1]][i-1];
}
void dfs(int u, int fa){
    load(u, fa);
    for(int i=head[u];i;i=nxt[i]){
        int v=vv[i];
        if(v==fa) continue;
        dfs(v, u);
    }
}

同时也可以像下面预处理出(log^{n}_{2})的所有值以优化常数

for(int i=2;i<=tot;++i)
    lg2[i]=lg2[i>>1]+1; // 预处理log2n

查询

首先使两个查询节点跳至同一高度后（因为它们的最近公共祖先不可能低于这两点，跳跃方法同下），当前层记为(x)，然后从(log^{x}_{2})到0枚举（递减能保证可以完全分解成二进制）(j)，如果上跳(2^{j})层后不重合，那么就继续跳，重合则不跳，使两点层数一直逼近最近公共祖先，最后跳完(2^{0})层后，两点必定会停在最近公共祖先的下一层，所以最后直接取当前层(i)的(f[i][0])就好了。

其中，可以直接从最大可能的(i)开始枚举，因为反正(i)也很小。

inline int lca(int a, int b){
    if(dep[a]<dep[b]) swap(a, b);
    for(int i=20;i>=0;--i)
        if(dep[f[a][i]]>=dep[b])
            a=f[a][i];
    if(a==b) return a;
    for(int i=20;i>=0;--i)
        if(f[a][i]!=f[b][i])
            a=f[a][i], b=f[b][i];
    return f[a][0];
}

这是一种在线求(LCA)的算法，其实还有(Tarjan)这种效率高的离线算法。

(O(1))求LCA

另外还有一种(nlogn)预处理，每次(O(1))查询的方法。

即用欧拉序+RMQ可实现(O(1))求得LCA。先dfs全树，记录欧拉序（就是记下(dfs)走过的节点），然后在欧拉序上以节点深度作为权值建ST表，每次查欧拉序上深度最小的点即为LCA。此时将问题转换为区间求最小值RMQ问题。

预处理

void dfs(int u, int fa){
    dfn[u]=++tot;
    f[tot][0]=u;
    dep[u]=dep[fa]+1;
    for(int i=head[u];i;i=nxt[i]){
        int v=vv[i];
        if(v==fa) continue;
        dfs(v, u);
        f[++tot][0]=u; // 再记录
    }
}

for(int i=1;i<20;++i)
    for(int j=1;j+(1<<i)-1<=tot;++j)
        if(dep[f[j][i-1]]<dep[f[j+(1<<(i-1))][i-1]])
            f[j][i]=f[j][i-1];
		else
            f[j][i]=f[j+(1<<(i-1))][i-1];
for(int i=2;i<=tot;++i)
    lg2[i]=lg2[i>>1]+1; // 预处理log2n

查询

int lca(int a, int b){
    int l=dfn[a],r=dfn[b];
    if(l>r) swap(l,r);
    int lg=lg2[r-l+1];
    if(dep[f[l][lg]]<dep[f[r-(1<<lg)+1][lg]])
        return f[l][lg];
    else return f[r-(1<<lg)+1][lg];
}

求路径上最值

求树上两点(a,b)路径上的最小权值

我们再设一个(g[i][j])表示节点(i)向上跳(2^j)内所经过的最小权值即可，转移方程：

(g[i][j]=min(g[i][j-1], g[f[i][j-1]][j-1]))