Manacher算法详解

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Manacher算法

Manacher算法，是用来解决有关回文串的问题的算法。

问题：

给定一个字符串(S),长度为(n)，求它的最长回文子串的长度？
(1leq nleq 1.1 imes 10^7)

先不讲正解是什么，先想想暴力怎么做。
不难想到我们可以直接枚举中间点然后左右扩展，判一下奇偶就可以了。复杂度(O(n^2))。
我们可以考虑一下优化。
在原字符串的首尾和每个字符中间增加 原字符串中没有的字符 ，比如说(\%)，这样就可以不必枚举奇偶了。
举个栗子，字符串(abc)在加上(\%)之后会变成(\%a\%b\%c\%)，(abcd)加上之后会变成(\%a\%b\%c\%d\%)，字符串长度就都是奇数了。
以字符串(12212321)为例，经过上一步，变成了(S=\%1\%2\%2\%1\%2\%3\%2\%1\%)
我们设置辅助数组(p[i])来记录以字符(S[i])为中心的最长回文子串向左/右扩张的长度（包括(S[i])），下面的图片中用#代替 (\%)。

通过观察我们不难看出(p[i]-1)就是以(S[i])为中心的回文子串的长度。其实这东西证明也是很简单的。
假设我们(p[i]=3)，然后假设从(s[i])往右的(3)个字符为(\%a\%)，因为(p)数组保留的是半径，所以我们还原该回文串之后就是(\%a\%a\%)。
因为(\%)都是我们补充的，所以在半径中除去(\%)再乘(2)就是实际回文串的长度。而求实际在原字符串中的字符个数又有两种情况。

1. 回文串中心是(\%)上面我们已经讨论过了，这里就不重复说了。
2. 回文串中心是原字符串中的字符。举个栗子(a\%a\%(p[i]=4))，显然这里的有用的字符就是(aa)，因为这是半径，所以我们还要乘(2)，但是由于该回文串的中心是原字符串中的字符，所以中间那个字符会算两次，所以我们还要减去中间的那个字符，即(2 imes2-1)，也就是(4-1)，也就是(p[i]-1)了。

但是我们还要考虑一点，我们上面讨论的都是结尾字符以(\%)的情况，那会不会结尾字符有原字符串中的字符呢？
答案显然是 不可能 的，因为如果有这种情况的话，我们可以再往两边扩展一个(\%)（每两个字符中间都有一个(\%)），就变成了上面我们讨论的两种情况了。
(cdot) 再设置两个辅助变量
设(id)为当前我们已知的右边界最大的回文子串的中心，(mx)为(id+p[id])也就是最大的右边界。如下图。

假设我们当前要求的位置为(i(i<mx))，我们可以找到(i)关于(id)的对称点(j)，因为(id)为中点，所以(id)左侧和右侧字符是 完全一样 的。
所以我们可以利用(j)来加速(p[i])的求解。因为(p[i])是可以等于(p[j])的。
但是我们注意到，(mx)右边的部分是有可能不等于(id-p[id])（即(mx)的对称点）的左边部分的。所以(p[i])应该小于等于(mx-i)。至于(mx)右侧的部分，我们就只能暴力扩展了。
如果(i geq mx)的话，那我们就只能先暂令(p[i]=1)然后同样暴力扩展了。扩展完之后更新(mx)和(id)。
模板题Manacher算法 下面放代码，代码中用#代替(\%)。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
char s[32000005],s_new[32000005];
int p[32000005];
int get() {
	s_new[0]='$';
	s_new[1]='#';
	int k=2;
	int n=strlen(s);
	for(int i=0; i<n; i++) {
		s_new[k++]=s[i];
		s_new[k++]='#';
	}
	s_new[k]='';
	return k;
}
void manacher() {
	int len=get();
	int mx=0,id=0,ans=-1;
	for(int i=1; i<=len; i++) {
		if(i<mx)
			p[i]=min(mx-i,p[2*id-i]);
		else
			p[i]=1;
		while(s_new[i-p[i]]==s_new[i+p[i]])
			p[i]++;
		if(i+p[i]>mx) {
			mx=i+p[i];
			id=i;
		}
		ans=max(ans,p[i]-1);
	}
	printf("%d
",ans);
}
int main() {
	scanf("%s",s);
	manacher();
	return 0;
}