uva 571 Jugs

数论题

题意：

有无限的水供应，另外有AB两个杯子，他们有容量，分别为ca和cb，满足0<ca<=cb，并且ca和cb互质
一开始两个杯子都没有水。一种操作是，你能往一个杯子加水，但必须把这个杯子加满，一种操作是倒水，但一定要把水倒空，一种操作是把一个杯子的水倒给另一个杯子，但要求是至少使一个杯子为空或者另一个杯子。现在给你一个数字n，n<=cb,现在的任务是使B杯的水量为n，至于A杯的水量是多少都行，问你要怎么做。

这题对于一个case其实有多种答案，不过题目对于输出并没有要求并没有需要优化，任意一组可行解即可

这题一开始没有头绪，从推理的角度来看这题，但是一直找不到出路。题目归类在数学类，条件中ca与cb互质，这个东西肯定有用，但是想不出来。后来看了一下题解，明白了，所以自己写一下证明

先来看一个特列： 由于 0<ca<=cb  ,  N<=cb 且题目保证一定有解，所以当ca=cb时，不难推理出必然有N=ca=cb，这样的话，只要一步操作就是往B中加满水。

当 ca<cb ,  N=cb,  同样是一步操作往B中加满水。  所以特殊情况就是N=cb，直接往B中加水

下面讨论的是N<cb

1.来看一个式子 x*A , B , 其中x的范围是[1,B-1]，x*A无法被B整除，（因为A与B互质，A不能整除B（没有任何除了1以外的公因子），x也不可能整除B，因而x*A不可能整除B）

2.那么x*A mod B=r ,且r!=0；下面证明一个最重要的结论，当 x1!=x2是，r1!=r2

反证法：假设：x1!=x2,r1=r2

我们先约定x1>x2，r1=r2=r

x1*A =  m1*B+r;    

x2*A =  m2*B+r;

上面两式相减 (x1-x2)*A=(m1-m2)*B     ------>    (x1-x2)*A/B=m1-m2

换句话说，(x1-x2)*A能被B整除，而1<=x1-x2<=B-1，这与第1条结论是矛盾的

所以假设不成立，当x1!=x2时，r1!=r2

3.基于1和2，可以得到最后的结论  x*A , x范围[1,B-1] , 而x不同时，r也不同，可知知道，当x从1到B-1枚举，r的取值也将在[1,B-1]，只是顺序不一定
换句话说，x枚举完，就能得到所有可能的r值，而N<cb，一定会得到一个N的值

4.最后就是代码实现，只要理清一下逻辑关系即可

#include <cstdio>
#include <cstring>
int ca,cb,n,a,b;


int main()
{
    while(scanf("%d%d%d",&ca,&cb,&n)!=EOF)
    {
        if(cb==n)
        {
            printf("fill B\n");
            printf("success\n");
            continue;
        }
        a=b=0;
        while(b!=n)
        {
            if(a==0)  //A瓶为空，加满
            {
                printf("fill A\n");
                a=ca;
            }
            if(b<cb)  //b瓶没没有满
            {
                printf("pour A B\n");
                if(b+ca>cb)  //B先满，A不为空
                {
                    a=ca-(cb-b);
                    b=cb;
                }
                else      //A为空，B未满或者满都有可能
                {
                    b=b+a;
                    a=0;
                }
            }
            if(b==cb)
            {
                printf("empty B\n");
                b=0;
                printf("pour A B\n");
                b=a;
                a=0;
            }
        }
        printf("success\n");
    }
    return 0;
}