2018多校第九场 HDU 6416 （DP+前缀和优化）

转自：https://blog.csdn.net/CatDsy/article/details/81876341

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define mst(a,b) memset((a),(b),sizeof(a))
#define pi acos(-1)
#define pii pair<int,int>
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const double eps = 1e-6;
const int MAXN = 2e3 + 10;
const int MAXM = 2e6 + 10;
const ll mod = 998244353;

char s[MAXN][MAXN];
ll tot[MAXN][MAXN], same[MAXN][MAXN];
ll pre_tot[MAXN][MAXN], pre_same[MAXN][MAXN];

int main() {
#ifdef local
    freopen("data.txt", "r", stdin);
//    freopen("data.txt", "w", stdout);
#endif
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--) {
        int n,m,k;
        scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
        for(int i = 1; i <= n; i++)
            scanf("%s",s[i] + 1);
        for(int i = 1; i <= n; i++)
            pre_tot[i][0] = pre_same[i][0] = 0;
        for(int i = 1; i <= m; i++) {
            tot[1][i] = 1;
            pre_tot[1][i] = i;
            if(i == 1 || s[1][i] != s[1][i - 1]) same[1][i] = 0;
            else same[1][i] = 1;
            pre_same[1][i] = pre_same[1][i - 1] + same[1][i];
        }
        for(int i = 2; i <= n; i++) {
            for(int j = 1; j <= m; j++) {
                int l = max(j - k, 1), r = min(j + k, m);
                tot[i][j] = (pre_tot[i - 1][r] - pre_tot[i - 1][l - 1] + mod) % mod;
                l = max(j - k + 1, 1), r = min(j + k, m);
                tot[i][j] = (tot[i][j] - (pre_same[i - 1][r] - pre_same[i - 1][l - 1] + mod) % mod + mod) % mod;
                pre_tot[i][j] = (pre_tot[i][j - 1] + tot[i][j]) % mod;
                if(j == 1 || s[i][j] != s[i][j - 1]) same[i][j] = 0;
                else {
                    l = max(j - k, 1), r = min(j + k - 1, m);
                    same[i][j] = (pre_tot[i - 1][r] - pre_tot[i - 1][l - 1] + mod) % mod;
                    l = max(j - k + 1, 1), r = min(j + k - 1, m);
                    same[i][j] = (same[i][j] - (pre_same[i - 1][r] - pre_same[i - 1][l - 1] + mod) % mod + mod) % mod;
                }
                pre_same[i][j] = (pre_same[i][j - 1] + same[i][j]) % mod;
            }
        }
        ll ans = 0;
        for(int i = 1; i <= m; i++)
            ans = (ans + tot[n][i] - same[n][i] + mod) % mod;
        printf("%lld
",ans);
    }
    return 0;
}

题目描述：

给定一个N∗MN∗M的01矩阵

K-seam是满足以下条件的整数序列a：

• |a|=n,ai∈[1,m]|a|=n,ai∈[1,m]
• |ai−ai+1|≤K,i∈[1,n)|ai−ai+1|≤K,i∈[1,n)

对于第ii行，删除第aiai个数，会得到一个N∗(M−1)N∗(M−1)的矩阵

不同的整数序列可能会得到相同的矩阵

问：可以得到多少种不同的矩阵

---

题解：

如果无视different的条件 
定义状态：dp[i][j]dp[i][j]——删除第 ii 行第 jj 个数可以得到的矩阵总数 
可推得转移方程如下：

 

dp[i][j]=∑x=j−kj+kdp[i−1][x]dp[i][j]=∑x=j−kj+kdp[i−1][x]

 

在此基础上，加上different的条件 
定义状态：

• tot[i][j]tot[i][j]——删除第 ii 行第 jj 个数可以得到的不同的矩阵总数
• same[i][j]same[i][j]——删除第 ii 行第 jj 个数和删除第 ii 行第 j−1j−1 个数后得到的相同方案数

那么，tot[i][j]tot[i][j]的状态转移方程为： 

 

tot[i][j]=∑x=j−kj+ktot[i−1][x]−∑x=j−k+1j+ksame[i−1][x]tot[i][j]=∑x=j−kj+ktot[i−1][x]−∑x=j−k+1j+ksame[i−1][x]

如果 Matrix[i][j]≠Matrix[i][j−1]Matrix[i][j]≠Matrix[i][j−1] 那么，same[i][j]=0same[i][j]=0 
否则，对于第 jj 个和第 j−1j−1 个的转移区间分别为[j−k,j+k][j−k,j+k]，[j−1−k,j−1+k][j−1−k,j−1+k]，那么它们的交叉区间为[j−k,j−1+k][j−k,j−1+k]，即：从该区间内转移得到的方案数会重复计算一次。得到 same[i][j]same[i][j] 的转移方程为： 

 

same[i][j]=∑x=j−kj+k−1tot[i−1][x]−∑x=j−k+1j+k−1same[i−1][x]same[i][j]=∑x=j−kj+k−1tot[i−1][x]−∑x=j−k+1j+k−1same[i−1][x]

 

时间复杂度为O(n∗m2)O(n∗m2)，对于∑∑做前缀和优化，时间复杂度降为O(n∗m)O(n∗m)

最后，对于第n行计算总的不同的方案数，即ans=∑tot−∑same