矩阵的四个子空间

对于任意一个矩阵A m×n，那么这个矩阵存在四个子空间：

• Column space, 记作 C(A). 矩阵A的列空间就是A的任意列向量的线性组合。可以看出矩阵列空间是属于R^m， 用数学的表达方式就是 C(A) = { v | v = Ax, where x is any vector of Rⁿ }
• Null space of A，记作Ν(A)，任意和矩阵相乘为0的向量（那些右乘A为0的向量就组成矩阵A的零空间向量，Ax=0的x），可以看出矩阵的零空间是属于Rⁿ ， 用数学的表达方式就是 N(A) = { x | Ax = 0 }
• Column space of A^T（Row space）记作C(A^T)，矩阵A的行空间就是A的任意行向量的线性组合。矩阵行空间是属于Rⁿ，C(A^T) = { v | v = A^Tx, where x is any vector of R^m }
• Null space of A^T，记作N(A^T)，任意和矩阵相乘为0的向量（那些右乘A^T为0的向量组成矩阵A的零空间向量，A^Tx=0的x）。这里的x是属于R^m，N(A^T) = { x | A^Tx = 0 }

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　　有了这四个子空间的定义，然后再来看一看四个子空间的关系

• C(A)和N(A^T)是正交的（orthogonal），用正交的定义去证明：任意v  是C(A)中的向量，那么v就可以表示为 v = Ax，任意u是N(A^T)中的向量，那么v^Tu = (Ax)^Tu = x^TA^Tu = x^T(A^Tu)  =  0, 所以 u和v正交，由于两个空间的任意向量都相互正交，因此这两个空间正交。
• 同样可以证明，Ν(A)和C(A^T)这两个空间正交。
• 每一个空间的基的个数应该是多少呢，假设rank(A) = r，rank(A) = r，表示列向量或者行向量有r个不线性相关的向量，因此列空间和行空间都是有r个基。方程组Ax = 0的解可以知道，如果rank(A) = r， 那么x有n-r个线性不相关的解，因此N(A)有n-r个基，同理N(A^T)有m-r个不相关的基。因此可以看出C(A)和N(A^T)构成了整个R^m的空间，Ν(A)和C(A^T)构成了整个Rⁿ的空间。