NOIP普及组 纪念品 题解

NOIP普及组 2019

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纪念品

题目描述

小伟突然获得一种超能力，他知道未来 T 天 N种纪念品每天的价格。某个纪念品的价格是指购买一个该纪念品所需的金币数量，以及卖出一个该纪念品换回的金币数量。

每天，小伟可以进行以下两种交易无限次：

1. 任选一个纪念品，若手上有足够金币，以当日价格购买该纪念品；
2. 卖出持有的任意一个纪念品，以当日价格换回金币。

每天卖出纪念品换回的金币可以立即用于购买纪念品，当日购买的纪念品也可以当日卖出换回金币。当然，一直持有纪念品也是可以的。

TT 天之后，小伟的超能力消失。因此他一定会在第T 天卖出所有纪念品换回金币。

小伟现在有 M枚金币，他想要在超能力消失后拥有尽可能多的金币。

输入格式

第一行包含三个正整数 T, N, M，相邻两数之间以一个空格分开，分别代表未来天数 TT，纪念品数量N，小伟现在拥有的金币数量 M*。

接下来 T行，每行包含 N 个正整数，相邻两数之间以一个空格分隔。第 i* 行的 N* 个正整数分别为 P_{i,1}P**i,1，P_{i,2}P**i,2,……,P_{i,N}P**i,N，其中 P_{i,j}P**i,j 表示第 i* 天第 j* 种纪念品的价格。

输出格式

输出仅一行，包含一个正整数，表示小伟在超能力消失后最多能拥有的金币数量。

输入输出样例

输入 #1复制

6 1 100
50
20
25
20
25
50

输出 #1复制

305

分析：

首先很重要的一点就是，本题标注了物品可以当日购买，当日出售。因此这就简化了我们思考的难度，举个例子：我们可以把第一天购买第5天才卖的商品看作第二天出售再购买，第三天出售再购买直到第五天出售不购买。

所以基于上面的思路，我们不需要考虑隔天的销售情况，我们只需要考虑第二天的售买情况即可。

我们可以严格证明，如果每天都可以赚到最大，那么到第t天手中的金币一定是最多的，这就是我们贪心的策略。

我们把今天与明天各物品的价格差作为物品的价值，物品的原本价格看作物品的体积，我们就把本题转化为了完全背包问题，一共有t天，做t - 1次完全背包问题即可。

代码：

#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 110, M = 10010;

int w[N][N];
int f[M];
int t, n, m;

int main()
{
    scanf("%d%d%d", &t, &n, &m);
    
    for (int i = 1; i <= t; i ++ )
        for (int j = 1; j <= n; j ++ )
            scanf("%d", &w[i][j]);
    
    for (int i = 1; i < t; i ++ )
    {
        memset(f, 0, sizeof f);//每次做dp前归零数组
        
        for (int j = 1; j <= n; j ++ )
            if (w[i + 1][j] > w[i][j])  //优化
                for (int k = w[i][j]; k <= m; k ++ )
                    f[k] = max(f[k], f[k - w[i][j]] + w[i + 1][j] - w[i][j]);//优化后的完全背包模板
        
        m += f[m];
    }
    
    printf("%d
", m);
    
    return 0;
}