题意
给你一个正整数 (n)，求有多少字符集为 (1) 到 (k) 之间整数的字符串，使得该字符串可以由一个长度为 (n) 的回文串循环移位得到。
ARC原题 (100\%) 的数据是 (n,kle 10^9)
SDOI改编后，(30\%) 的数据是 (n,kle 10^{10})，(60\%) 的数据是 (n,kle 10^{14})，(100\%) 的数据是 (n,kle 10^{18})……
题解
(n,kle 10^{10})
考虑一个回文串，设它的循环节长度为 (x)，若 (x) 为奇数，则对答案贡献 (x)；若为偶数，则对答案贡献 (frac{x}{2})。
我们按 (x) 把所有字符串分类，统计每一类的数量。
设 (f(i)) 表示最小循环节长度为 (i) 的回文串数量，(F(i)) 表示循环节长度为 (i)（即 (i) 是最小循环节长度的正整数倍）能得到新回文串的回文串数量。
则 $$F(i)=sumlimits_{d|i} f(d)$$ $$ans = sumlimits_{d|n} f(d) imes egin{cases} d（d为奇数） frac{d}{2}（d为偶数） end{cases}$$
显然有 (F(i)=k^{lceil frac{i}{2}
ceil})，我们可以解 (f(d)) 了。
(nle 10^{10}) 时，因数最多约有 (6700) 多个。所以我们要求出 (6700) 多个 (f(d))。
移项得 (f(i)=F(i)-sumlimits_{d|i 且 d≠i} f(d))
递推 (f) 即可。
复杂度大约 (O(6700^2))。
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define N 7000
#define mod 1000000007
using namespace std;
inline int read(){
int x=0; bool f=1; char c=getchar();
for(;!isdigit(c); c=getchar()) if(c=='-') f=0;
for(; isdigit(c); c=getchar()) x=(x<<3)+(x<<1)+(c^'0');
if(f) return x;
return 0-x;
}
int n,k,d[N],f[N],cnt,ans;
int Pow(int x, int y){
int ret=1;
while(y){
if(y&1) ret=(ll)ret*x%mod;
x=(ll)x*x%mod;
y>>=1;
}
return ret;
}
int main(){
n=read(), k=read();
int nn=sqrt(n);
for(int i=1; i<=nn; ++i)
if(n%i==0){
d[++cnt]=i, f[cnt]=Pow(k,(i+1)/2);
for(int j=1; j<cnt; ++j)
if(i%d[j]==0) f[cnt]=((f[cnt]-f[j])%mod+mod)%mod;
ans=(ans+(ll)f[cnt]*((i&1)?i:i/2)%mod)%mod;
}
for(int i=nn; i>=1; --i)
if(n%i==0){
int ii=n/i;
d[++cnt]=ii, f[cnt]=Pow(k,(ii+1)/2);
for(int j=1; j<cnt; ++j)
if(ii%d[j]==0) f[cnt]=((f[cnt]-f[j])%mod+mod)%mod;
ans=(ans+(ll)f[cnt]*((ii&1)?ii:ii/2)%mod)%mod;
}
cout<<ans<<endl;
return 0;
}
(n,kle 10^{14})
(F(i)=sumlimits_{d|i} f(d)) 不是莫比乌斯反演式子？
根据公式转化成 (f(i)=sumlimits_{d|i} F(d)mu(frac{i}{d}))
我们最多只需要求约 (17280) 个 (mu)，因此可以暴力 ( ext{dfs}) 计算每个 (mu(i))，然后就求出 (f(i)) 了。
发现 ( ext{dfs}) 的时候，(n) 的每个质因数只需要乘 (0) 或 (1) 个，乘 (2) 个的话 (mu) 值就变成了 (0) 了。
于是复杂度变为 (O(17280 imes 2^{12}))，但约数数量通常不多，更不会卡满上界 (17280)，所以卡卡常就能 (60) 分？
(n,kle 10^{18})
看不懂，请移步 scb 的博客。