【2018.9.20】JOI 2017 Final T3「JOIOI 王国 / The Kingdom of JOIOI」

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题目描述

JOIOI 王国是一个 $H$ 行 $W$ 列的长方形网格，每个 $1 imes 1$ 的子网格都是一个正方形的小区块。为了提高管理效率，我们决定把整个国家划分成两个省 $JOI$ 和 $IOI$ 。

我们定义，两个同省的区块互相连接，意为从一个区块出发，不用穿过任何一个不同省的区块，就可以移动到另一个区块。有公共边的区块间可以任意移动。
我们不希望划分得过于复杂，因此划分方案需满足以下条件：

• 区块不能被分割为两半，一半属 $JOI$ 省，一半属 $IOI$ 省。
• 每个省必须包含至少一个区块，每个区块也必须属于且只属于其中一个省。
• 同省的任意两个小区块互相连接。
• 对于每一行/列，如果我们将这一行/列单独取出，这一行/列里同省的任意两个区块互相连接。这一行/列内的所有区块可以全部属于一个省。

现给出所有区块的海拔，第 $i$ 行第 $j$ 列的区块的海拔为 $A_{i,j}$​​。设 JOI 省内各区块海拔的极差（最大值减去最小值） 为 $R_{JOI}$​​，IOI 省内各区块海拔的极差为 $R_{IOI}$​​。在划分后，省内的交流有望更加活跃。但如果两个区块的海拔差太大，两地间的交通会很不方便。 因此，理想的划分方案是 $max(R_{JOI}, R_{IOI})$ 尽可能小。
你的任务是求出 $max(R_{JOI}, R_{IOI})$ 至少为多大。

输入格式

第一行，两个整数 $H,W$，用空格分隔。
在接下来的 HHH 行中，第 $i$ 行有 $W$ 个整数 $A_{i,1}, A_{i, 2}, ldots, A_{i, W}$​​，用空格分隔。
输入的所有数的含义见题目描述。

输出格式

一行，一个整数，表示 $max(R_{JOI}, R_{IOI})$ 可能的最小值。

样例

样例输入 1

4 4
1 12 6 11
11 10 2 14
10 1 9 20
4 17 19 10

样例输出 1

11

样例解释 1

在这组样例中，一种理想方案长这样。下图中，$J$ 表示该区块属于 $JOI$ 省，$I$ 表示该区块属于 $IOI$ 省。

$J$	$J$	$J$	$I$
$J$	$J$	$J$	$I$
$J$	$J$	$I$	$I$
$J$	$I$	$I$	$I$

注意下述方案不符合第四条原则，将第三列单独取出时，两个 $I$ 不能互相连接。

$J$	$J$	$I$	$I$
$J$	$J$	$J$	$I$
$J$	$J$	$I$	$I$
$J$	$I$	$I$	$I$

 

 

 

样例输入 2

8 6
23 23 10 11 16 21
15 26 19 28 19 20
25 26 28 16 15 11
11 8 19 11 15 24
14 19 15 14 24 11
10 8 11 7 6 14
23 5 19 23 17 17
18 11 21 14 20 16

样例输出 2

18

数据范围与提示

对于 $15\%$ 的数据，$H, Wleqslant 10$。
对于另外 $45\%$ 的数据，$H, Wleqslant 200$。
对于所有数据，$2leqslant H, Wleqslant 2000, A_{i,j}leqslant 10^9(1leqslant ileqslant H, 1leqslant jleqslant W)$。

 

上网搜这JOI的题，一篇题解都没找到，好尬啊，只好回日本 JOI2017 原网站看了半天日语题解，日语水平菜头皮发麻。

看看$N,M$，乘起来共有400w个数，再看看答案的值域，$[0, 10^9(max-min)]$。

好像可以二分答案并$n^2$判断？

于是我们只需要再知道怎么判断分割是否可行。

其实，题目说的比较含蓄，整个地图划分的两个省其实都类似于旋转三角：

原因是这两条：

• 同省的任意两个小区块互相连接。
• 对于每一行/列，如果我们将这一行/列单独取出，这一行/列里同省的任意两个区块互相连接。这一行/列内的所有区块可以全部属于一个省

所以判断就比较方便了。

我们可以先找出海拔的最小值$AllMin$和最大值$AllMax$。

然后二分答案与海拔最小值的差（这样更好，我直接二分答案然后莫名被卡）$x$。

我们就要判断现在能否划分出两个类似于上图的三角，如果能就缩小答案，如果不能就增大答案。

那么让一块的最大值$leq AllMin+x$，一块的最小值$geq AllMax-x$，依次判断上述四种情况是否有一种满足即可。

比如让红色省区的最大值$leq AllMin+x$，以第二张图为例，只需要从第一行开始在每行中遍历。如果遍历到 第一个海拔$geq$最大值的地方 或者 超过上一行划分的红色省区右端的地方 就停（这一格不划入红色省区），转到下一行即可。否则将该格划入红色省区。

然后每行右边没划的地方自然全给蓝色省区，再判一下蓝色省区的最小值是否$geq AllMax-x$就行了。

其它情况类似。

时间复杂度$O(H*W*log(AllMax-AllMin))$。

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;

int H, W, A[2020][2020];
int gmin, gmax;

bool check(int th)
{
    int sep = 0;
    for (int i = 0; i < H; ++i) {
        for (int j = 0; j < W; ++j) {
            if (A[i][j] < gmax - th) {
                sep = max(sep, j + 1);
            }
        }
        for (int j = 0; j < W; ++j) {
            if (gmin + th < A[i][j]) {
                if (j < sep) return false;
            }
        }
    }
    return true;
}
void flip_row()
{
    for (int i = 0; i < H / 2; ++i) {
        for (int j = 0; j < W; ++j) {
            swap(A[i][j], A[H - 1 - i][j]);
        }
    }
}
void flip_col()
{
    for (int i = 0; i < H; ++i) {
        for (int j = 0; j < W / 2; ++j) {
            swap(A[i][j], A[i][W - 1 - j]);
        }
    }
}
int solve()
{
    int lo = 0, hi = gmax - gmin;
    while (lo < hi) {
        int mid = (lo + hi) / 2;
        if (check(mid)) {
            hi = mid;
        } else {
            lo = mid + 1;
        }
    }
    return lo;
}
int main()
{
    scanf("%d%d", &H, &W);
    for (int i = 0; i < H; ++i) {
        for (int j = 0; j < W; ++j) {
            scanf("%d", &(A[i][j]));
        }
    }

    gmin = gmax = A[0][0];
    for (int i = 0; i < H; ++i) {
        for (int j = 0; j < W; ++j) {
            gmin = min(gmin, A[i][j]);
            gmax = max(gmax, A[i][j]);
        }
    }

        //翻转三次，得到四种情况
    int ret = solve();
    flip_row();
    ret = min(ret, solve());
    flip_col();
    ret = min(ret, solve());
    flip_row();
    ret = min(ret, solve());
    printf("%d
", ret);
    return 0;
}