【六省联考2017】相逢是问候

• 我还停留在 oyyp 去年 8 月的水平，我真的没救了，以后准备铁牌退役吧

Description

　　https://loj.ac/problem/2142

Solution

　　考察对扩展欧拉定理的理解。
　　我们知道扩展欧拉定理长这样 $$a^b% p = a^{b% varphi(p) + (bge varphi(p) ? varphi(p) : 0)}$$
　　那么进行一次题目中的修改操作，得到 (a^{a^b})，发现 $$egin{align} a^{a^b}% p &= a^{a^b% varphi(p)+(a^bge varphi(p) ? varphi(p) : 0)}% p onumber &= a^{a^{b% varphi(varphi(p)) + cdots}% varphi(p) + cdots}% p onumber end{align}$$（“(cdots)” 用于省略类似于 ((bge varphi(p) ? varphi(p) : 0)) 的语句）
　　不难发现指数每往上一级，模数 (p') 就会求一次欧拉函数，即 (varphi(p'))。
　　有个性质：对于一个正整数 (p)，不断地对其求欧拉函数，至多求 (2log p) 次就会变成 (1)，之后一直都是 (1)。证明很简单自己去看
　　故当一个数 (a) 被进行一定次题目中的修改操作后，再怎么修改值都不会变了，故我们可以忽略掉以后对它的操作。
　　用线段树维护题目给定的数组，区间修改下传 tag 时，若这个区间中所有数的修改次数都够了，就不用下传 tag 了。tag 下传到叶子节点时，暴力重算该点的值即可（这里需要快速幂，故复杂度再多一个 (log)），每个数最多被暴力重算 (2log p) 次，故复杂度是对的。
　　时间复杂度 (O(nlog nlog^2 p))。

　　这个复杂度有可能跑不过。不难发现由于快速幂的底数始终是个定值 (c)，所以可以 (O(sqrt{p})) 预处理、(O(1)) 查询，即光速幂。具体做法：预处理出 (c^{0cdots 10000})，再预处理出 (d^{0cdots 10000})（(d=c^{10000})），查询 (c^k) 时求 (d^{k/10000} imes c^{k\%10000})，注意单独处理 (k=10^8) 的情况。
　　时间复杂度 (O(nlog nlog p))。