么正矩阵(酉矩阵)

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一实(或复) 正交矩阵(orthogonal matrix) $Q$ 是一个实(或复) 方阵满足

$Q^TQ=QQ^T=I$ ，

即 $Q^{-1}=Q^T$ 。写出 $n imes n$ 阶实正交矩阵的行向量(column vector) 表达， $Q=egin{bmatrix} mathbf{q}_1&cdots&mathbf{q}_n end{bmatrix}$ ，则 $(Q^TQ)_{ij}=mathbf{q}_i^Tmathbf{q}_j=(I)_{ij}$ ，矩阵乘积 $Q^TQ$ 的 $(i,j)$ 元等于 $mathbf{q}_i$ 与 $mathbf{q}_j$ 的内积。因此， $mathbf{q}_i^Tmathbf{q}_j=delta_{ij}=0$ 若 $i eq j$ ， $mathbf{q}_i^Tmathbf{q}_j=delta_{ij}=1$ 若 $i=j$ 。换句话说，实正交矩阵 $Q$ 的行向量 ${mathbf{q}_1,ldots,mathbf{q}_n}$ 是向量空间 $mathbb{R}^n$ 的一组单范正交基底(orthonormal basis)，单范表示归一， $mathbf{q}_i$ 是单位向量，正交意味 $mathbf{q}_i$ 垂直 $mathbf{q}_j$ 。不过，复正交矩阵的行向量并非 $mathbb{C}^n$ 的一个单范正交集，因为两个复向量 $mathbf{x}$ 与 $mathbf{y}$ 的内积定义为 $mathbf{x}^astmathbf{y}=overline{mathbf{x}}^Tmathbf{y}$ (见“ 内积的定义 ”)。如欲将实正交矩阵推广至复矩阵，将转置改为共轭转置。一么正矩阵(酉矩阵，unitary matrix) $U$ 是一个复方阵满足

$U^ast U=UU^ast=I$ ，

即 $U^{-1}=U^ast$ 。同样地，设 $U=egin{bmatrix} mathbf{u}_1&cdots&mathbf{u}_n end{bmatrix}$ ，则 $(U^ast U)_{ij}=mathbf{u}_i^astmathbf{u}_j=(I)_{ij}$ 。么正矩阵的行向量 ${mathbf{u}_1,ldots,mathbf{u}_n}$ 是向量空间 $mathbb{C}^n$ 的一组单范正交基底。例如，

$U=egin{bmatrix} displaystylefrac{1+i}{2}&displaystylefrac{1+i}{2}\[0.8em] displaystylefrac{1-i}{2}&displaystylefrac{-1+i}{2} end{bmatrix}$ ，

其中 $i=sqrt{-1}$ 。因为 $(U^ast)^ast=U$ ，若 $U$ 是一么正矩阵，则 $U^ast$ 也是么正矩阵。所以，么正矩阵 $U$ 的共轭列向量(row vector) 构成 $mathbb{C}^n$ 的一个单范正交集(事实上， $U$ 的列向量即构成单范正交集，因为 $overline{U}^ast\,overline{U}=overline{U}\,overline{U}^ast=I$ ， $overline{U}$ 也是么正矩阵)。类似地，实正交矩阵 $Q$ 的列向量构成 $mathbb{R}^n$ 的一个单范正交集。在一般情况下，么正矩阵与复正交矩阵是不同的，但实么正矩阵与实正交矩阵是相同的。所以，么正矩阵的所有性质皆可套用于实正交矩阵。

么正矩阵出现于许多矩阵分解式，举两个例子。第一是矩阵三角化的Schur 定理：任一方阵 $A$ 可分解为 $A=UTU^ast$ ，其中 $U$ 是一么正矩阵， $T$ 是上三角矩阵(见“ 矩阵三角化的Schur定理 ”)。第二是正规矩阵(normal matrix) 的么正对角化(unitarily diagonalizable)：若 $A$ 为一正规矩阵， $A^ast A=AA^ast$ ，则存在一么正矩阵 $U$ 使得 $A=ULambda U^ast$ ，其中 $Lambda$ 为一对角矩阵(见“ 特殊矩阵(2)：正规矩阵 ”)。事实上，可么正对角化是正规矩阵的一个充要条件。

以下令 $U$ 为一 $n imes n$ 阶么正矩阵，所有的性质都是由定义式得来。

性质1 .向量的长度不因么正变换而改变，即每一 $mathbf{x}inmathbb{C}^n$ ，

$Vert Umathbf{x}Vert=Vertmathbf{x}Vert$ 。

性质1说明么正变换是一个保长((length-preserving) 变换。使用定义式，

$Vert Umathbf{x}Vert^2=(Umathbf{x})^{ast}(Umathbf{x})=mathbf{x}^{ast}U^{ast}Umathbf{x}=mathbf{x}^{ast}Imathbf{x}=mathbf{x}^astmathbf{x}=Vertmathbf{x}Vert^2$ 。

反过来说，若所有向量 $mathbf{x}inmathbb{C}^n$ 都满足 $Vert Umathbf{x}Vert=Vertmathbf{x}Vert$ ，平方后整理可得 $mathbf{x}^ast (U^ast U-I)mathbf{x}=0$ ，可知 $(U^ast U-I)mathbf{x}=mathbf{0}$ ，并推得 $U^ast U-I=0$ 。所以，保长是么正矩阵的一个充要条件。

性质2 .两向量的内积不因么正变换而改变，即任何 $mathbf{x},mathbf{y}inmathbb{C}^n$ ，

$(Umathbf{x})^ast(Umathbf{y})=mathbf{x}^astmathbf{y}$ 。

性质2说明么正变换具有内积不变性。使用定义式，

$(Umathbf{x})^{ast}(Umathbf{y})=mathbf{x}^{ast}U^{ast}Umathbf{y}=mathbf{x}^{ast}Imathbf{y}=mathbf{x}^{ast}mathbf{y}$ 。

将上式的 $mathbf{y}$ 替换为 $mathbf{x}$ ，性质2可推得性质1。所以，内积不变性是么正矩阵的另一个充要条件。

性质3 .么正矩阵的特征值之绝对值为 $1$ 。

假设 $Umathbf{x}=lambdamathbf{x}$ ，等号两边同时取向量长度。利用性质1，等号左边为 $Vert Umathbf{x}Vert=Vertmathbf{x}Vert$ ，但等号右边为 $Vertlambdamathbf{x}Vert=vertlambdavert cdotVertmathbf{x}Vert$ ，所以 $vertlambdavert=1$ ，换句话说，么正矩阵的特征值可表示为 $lambda=e^{i heta}$ 。

性质4 .么正矩阵 $U$ 可么正对角化， $U=VDV^ast$ ，其中 $V$ 是一么正矩阵， $D=hbox{diag}(lambda_1,ldots,lambda_n)$ 。

么正矩阵 $U$ 满足 $U^ast U=UU^ast$ ，因此属于正规矩阵家族，本身也可被么正对角化。下面介绍 $U$ 对应相异特征值的特征向量互为正交的一个证明。假设非零向量 $mathbf{x}$ 与 $mathbf{y}$ 使得 $Umathbf{x}=lambda_1mathbf{x}$ ， $Umathbf{y}=lambda_2mathbf{y}$ ，且 $lambda_1 eqlambda_2$ 。使用性质2，

$mathbf{x}^{ast}mathbf{y}=(Umathbf{x})^{ast}(Umathbf{y})=(lambda_1mathbf{x})^{ast}(lambda_2mathbf{y})=(overline{lambda_1}lambda_2)(mathbf{x}^{ast}mathbf{y})$ 。

比较等号两边，推得 $overline{lambda_1}lambda_2=1$ 或 $mathbf{x}^{ast}mathbf{y}=0$ 。使用性质三，令 $lambda_1=e^{i heta_1}$ ，则 $overline{lambda_1}lambda_1=e^{-i heta_1}e^{i heta_1}=1$ 。但已知 $lambda_1$ 不等于 $lambda_2$ ，推论 $overline{lambda_1}lambda_2 eq 1$ ，证明 $mathbf{x}$ 正交于 $mathbf{y}$ 。

性质5 .么正矩阵 $U$ 的行列式为 $vertdet Uvert=1$ 。

根据性质3， $U$ 的特征值满足 $vertlambda_ivert=1$ 。行列式等于特征值之积，故 $vertdet Uvert=vert lambda_1cdotslambda_nvert=vertlambda_1vertcdotsvertlambda_nvert=1$ 。另一个作法计算

$det(U^ast U)=(det overline{U^T})(det U)=(overline{det U^T})(det U)=(overline{det U})(det U)=vertdet Uvert^2$ ，

但 $det(U^ast U)=det I=1$ ，所以 $vertdet Uvert=1$ 。

对于一实正交矩阵 $Q$ ， $det Q$ 为实数，由性质5可知 $det Q=pm 1$ 。据此，实正交矩阵可以区分为两类：若 $det Q=1$ ，则 $Q$ 称为适当的(proper) 的正交矩阵；若 $det Q=-1$ ，则 $Q$ 称为不适当的正交矩阵。令 $R( heta)$ 是平面上逆时针旋转角为 $heta$ 的旋转矩阵， $F(phi)$ 是平面上以 $egin{bmatrix} cosphi\ sinphi end{bmatrix}$ 为镜射轴指向的镜射矩阵，公式如下(见“ 几何变换矩阵的设计 ”)：

$R( heta)=left[!!egin{array}{cr} sin heta&-cos heta\ cos heta&sin heta end{array}!! ight],~~F(phi)=left[!!egin{array}{cr} cos 2phi&sin 2phi\ sin 2phi&-cos 2phi end{array}!! ight]$ 。

因为 $det R( heta)=cos^2 heta+sin^2 heta=1$ ，平面旋转是适当的正交矩阵。另一方面， $det F(phi)=-(cos^2 2phi+sin^2 2phi)=-1$ ，平面镜射是不适当的正交矩阵(见“ 旋转与镜射 ”)。平面旋转与镜射是保长变换，提示我们这两种矩阵是实正交矩阵。

最后补充一个么正矩阵的充分条件：假设 $n imes n$ 阶矩阵 $A$ 的特征值 $lambda$ 满足 $vertlambdavert=1$ 。若每一 $mathbf{x}inmathbb{C}^n$ 使得 $Vert Amathbf{x}VertleVertmathbf{x}Vert$ ，则 $A$ 是一个么正矩阵(见“ 每周问题July 6, 2015 ”)。注解提供两个证明：第一个证明使用奇异值分解^[1] ，第二个证明使用矩阵三角化的Schur定理^[2] 。

注解
[1] 令 $A$ 的特征值为 $lambda_1,ldots,lambda_n$ ，奇异值为 $sigma_1,ldots,sigma_nge 0$ 。给定的不等式等价于

$displaystyle Vert AVert_2=max_{Vertmathbf{x}Vert eqmathbf{0}}frac{Vert Amathbf{x}Vert}{Vertmathbf{x}Vert}=sigma_{max}le 1$ ，

其中 $sigma_{max}=max_{1le ile n}sigma_i$ 。令 $A$ 的奇异值分解为 $A=USigma V^ast$ ，其中 $Sigma= ext{diag}(sigma_1,ldots,sigma_n)$ 且 $U^ast U=V^ast V=I$ 。使用恒等式 $det(A^ast A)=vertdet Avert^2$ ，又 $det(A^ast A)=det(Sigma^astSigma)=sigma_1^2cdotssigma_n^2$ 且 $det A=lambda_1cdotslambda_n$ ，推得 $sigma_1cdotssigma_n=vert lambda_1cdotslambda_nvert=vertlambda_1vertcdotsvertlambda_nvert=1$ 。但 $sigma_{max}le 1$ ，可知 $sigma_1=cdots=sigma_n=1$ 。因此， $A=USigma V^ast=UIV^ast=UV^ast$ ，即知 $A^ast A=VU^ast UV^ast=I$ ，证明 $A$ 是一么正矩阵。

[2] 根据Schur 定理，写出 $A=UTU^ast$ ，其中 $U$ 是么正矩阵， $T=[t_{ij}]$ 是上三角矩阵，主对角元为 $A$ 的特征值 $lambda_1,ldots,lambda_n$ ，每一 $vertlambda_ivert=1$ 。考虑 $mathbf{x}=Umathbf{e}_n$ ，其中 $mathbf{e}_n=(0,ldots,0,1)^T$ 是第 $n$ 个标准单位向量，则 $Vertmathbf{x}Vert=Vert Umathbf{e}_nVert=(mathbf{e}_n^ast U^ast Umathbf{e}_n)^{1/2}=1$ 。我们得到

$displaystyle Vert Amathbf{x}Vert=Vert UTU^ast Umathbf{e}_nVert=Vert UTmathbf{e}_nVert=Vert Tmathbf{e}_nVert=left(vert t_{1n}vert^2+cdots+vert t_{n-1,n}vert^2+vertlambda_nvert^2 ight)^{1/2}$ 。

对于单位向量 $mathbf{x}$ ，给定条件等价于 $Vert Amathbf{x}Vertle 1$ ，再有 $vertlambda_nvert=1$ ，使得 $t_{in}=0$ ， $1le ile n-1$ 。套用归纳法，重复上述步骤令 $mathbf{x}=Umathbf{e}_j$ ， $j=n-1,n-2,ldots,2$ ，可推论 $T$ 是一个对角矩阵满足 $T^ast T=I$ (因为 $overline{lambda_i}lambda_i=vertlambda_ivert^2=1$ )。所以，

$A^ast A=UT^ast U^ast UTU^ast=UT^ast TU^ast=UU^ast =I$ 。