排队论模型

原文：排队论模型

（一）基本概念

一、排队过程的一般表示

      凡是要求服务的对象称为顾客，凡是为顾客服务的称为服务员

二、排队系统的组成和特征

      主要由输入过程、排队规则、服务过程三部分组成

三、排队模型的符号表示

1、X：表示顾客到达流或顾客到达间隔时间分布

2、Y：服务时间分布

3、Z：服务台数目

4、A：系统容量限制

5、B：顾客源数目

6、C：服务规则        FCFS先到先服务        LCFS后到先服务

各种分布符号有：M-负指数分布;D-确定型; Ek-k阶埃尔朗分布；GI-一般相互独立分布；G-一般随机分布等。这里k阶埃尔朗分布是

为相互独立且服从相同指数分布的随机变量时服从自由度为 2k的χ2分布。

例如,M/M/1表示顾客相继到达的间隔时间为负指数分布、服务时间为负指数分布和单个服务台的模型。

D/M/C表示顾客按确定的间隔时间到达、服务时间为负指数分布和C个服务台的模型。

至于其他一些特征,如顾客为无限源或有限源等，可在基本分类的基础上另加说明。

M/M/1排队模型

•到达时间泊松过程（Poisson process）；

•服务时间是指数分布（exponentially distributed）；

•只有一部服务器（server），遵循先到先服务规则

•队列长度无限制

•可加入队列的人数为无限

四、排队系统的运行指标

1、平均队长：指系统内顾客数（包括正被服务的顾客与排队等待服务的顾客）的数学期望，记做Ls

2、平均排队长：指系统内等待服务的顾客数的数学期望，记做Lq

3、平均逗留时间：顾客在系统内逗留的时间（包括排队等待的时间和被服务的时间）的数学期望，记做Ws

4、平均等待时间：指一个顾客在排队系统中排队等待时间额数学期望，记做Wq

5、平均忙期：指服务机构连续繁忙时间（顾客到达空闲服务机构起，到服务机构再次空闲的时间）长度的数学期望，记做Tb

6、系统的状态：指系统中顾客数

（二）输入过程与服务时间的分布

     当输入过程是泊松流的时候，顾客相继到达的时间间隔T必服从指数分布

（三）生灭过程

一、定义

（四）M/M/s等待制排队模型

一、单服务台模型

1、定义

2、队长的分布

二、几个重要的数量指标

1、平均队长

     

2、平均排队长

     

3、平均逗留时间

      

4、平均等待时间

     

5、重要关系

     

6、忙期和闲期

            

     平均逗留时间等于平均忙期

三、多服务台模型（M/M/s/∞）