可持久化线段树（主席树）

关于可持久化线段树

可持久化线段树可以将历史版本的线段树记忆下来，并支持新建版本与查询历史版本。

其中有一道经典的静态主席树的题就是求区间k大。

建树的过程其实就是先建一棵空树，再按输入顺序插入节点。需要新开节点的时候就新开，如果和之前没有什么变化的话就连到之前的树上。这样的空间复杂度据说是Θ(nlog_n)

由于线段树支持区间减法，于是我们可以在查询区间的时候利用前缀和的思想，对于[L,R]的区间，我们可以让第L-1个线段树与第R个线段树相减。

代码如下：（附有较详细的注释。）

//Writer : Hsz %WJMZBMR%tourist%hzwer
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <map>
#include <set>
#include <stack>
#include <vector>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#define LL long long
using namespace std;
const int N=200005<<5;
int l[N],r[N],sum[N],b[N];//sum表示线段树区间内点的数量。
int n,m,a[N],root[N],tot;
int build(int L,int R) {
    int rt=++tot;
    if(L<R) {
        l[rt]=build(L,(L+R)>>1);//建一个空树。l[rt]表示rt的左儿子。
        r[rt]=build((L+R)/2+1,R);
    }
    return rt;
}
int update(int pre,int L,int R,int c) {//加点，把历史版本记录下来。
    int rt=++tot;
    l[rt]=l[pre],r[rt]=r[pre],sum[rt]=sum[pre]+1;//pre:上一棵树的根，因为插入了一个新的点，所以sum肯定比上一个多1。
    if(L<R) {
        if(c<=((L+R)>>1))l[rt]=update(l[pre],L,(L+R)>>1,c);//如果插入的点在这个线段树的左子树，就递归到左子树。
        else r[rt]=update(r[pre],(L+R)/2+1,R,c);//同理。
    }
    return rt;//返回新建子树的根节点。
}
int query(int u,int v,int L,int R,int k) {
    if(L==R) return L;
    int x=sum[l[v]]-sum[l[u]];//u:区间左端点的线段树的根，v:右端点的线段树的根。
    //如果左子树的增加的点数仍旧大于要求的k，那么就递归到左子树求。
    if(x>=k) return query(l[u],l[v],L,(L+R)>>1,k);
    //否则递归到右子树，减去左子树上的点个数。
    else return query(r[u],r[v],(L+R)/2+1,R,k-x);
}
int main() {
    cin>>n>>m;
    for(int i=1; i<=n; i++) scanf("%d",&a[i]),b[i]=a[i];
    sort(a+1,a+1+n);
    int u=unique(a+1,a+1+n)-a-1;
    root[0]=build(1,u);
    for(int i=1; i<=n; i++) {
        b[i]=lower_bound(a+1,a+1+u,b[i])-a;//离散化。
        root[i]=update(root[i-1],1,u,b[i]);
    }
    int q,v,k;
    for(int i=1; i<=m; i++) {
        scanf("%d%d%d",&q,&v,&k);
        printf("%d
",a[query(root[q-1],root[v],1,u,k)]);
    }
    return 0;
}