Description
去年的Lucas非常喜欢数论题，但是一年以后的Lucas却不那么喜欢了。
在整理以前的试题时，发现了这样一道题目“求Sigma(f(i)),其中1<=i<=N”，其中 表示i的约数个数。他现在长大了，题目也变难了。
求如下表达式的值：
其中 表示ij的约数个数。
他发现答案有点大，只需要输出模1000000007的值。
Input
第一行一个整数n。
Output
一行一个整数ans，表示答案模1000000007的值。
Sample Input
2
Sample Output
8
HINT
对于100%的数据n <= 10^9。
解题思路
好神仙的一道题。首先有一个结论就是(sigma_0(ij)=sumlimits_{amid i}sumlimits_{bmid j}[gcd(a,b)=1])。证明的话就是考虑每一个质数的贡献，发现左右两边相等。有了这个结论就可以推式子了。
[ans=sumlimits_{i=1}^n sumlimits_{j=1}^n sigma_0(ij)
]
[ans=sumlimits_{i=1}^n sumlimits_{j=1}^nsumlimits_{amid i}sumlimits_{bmid j}[gcd(a,b)=1]
]
莫比乌斯反演得：
[ans=sumlimits_{d=1}^n mu(d)sumlimits_{a=1}^{frac{n}{d}}sumlimits_{b=1}^{frac{n}{d}}sumlimits_{amid i}sumlimits_{bmid j}1
]
把后面的式子合并一下：
$$ans=sumlimits_{d=1}nmu(d)(sumlimits_{i=1}{frac{n}{d}}frac{n}{id})^2$$
发现这样就可以分块套分块去做了，(summu)用杜教筛即可。分块第一层可以看做枚举(n/d)，第二层就是里面的(n/(id))。
代码
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<map>
using namespace std;
const int N=4000005;
const int MOD=1e9+7;
typedef long long LL;
int n,sum[N],prime[N],cnt,miu[N],ans;
bool vis[N];
map<int,int> mp;
inline int Add(int x,int y){
x+=y; return (x>=MOD)?(x-MOD):x;
}
inline int Sub(int x,int y){
x-=y; return x<0?x+MOD:x;
}
inline void prework(int n){
miu[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++){
if(!vis[i]) prime[++cnt]=i,miu[i]=-1;
for(int j=1;j<=cnt && 1ll*prime[j]*i<=n;j++){
vis[i*prime[j]]=1;
if(!(i%prime[j])) break;
miu[i*prime[j]]=-miu[i];
}
}
for(int i=1;i<=n;i++) sum[i]=sum[i-1]+miu[i];
}
int calc(int x){
if(x<=N-5) return sum[x];
if(mp.count(x)) return mp[x];
int ret=1;
for(int l=2,r;l<=x;l=r+1){
r=x/(x/l);
ret-=(r-l+1)*calc(x/l);
}
return mp[x]=ret;
}
int calc2(int x){
int ret=0;
for(int l=1,r;l<=x;l=r+1){
r=x/(x/l);
ret=Add(ret,1ll*(r-l+1)*(x/l)%MOD);
}
return 1ll*ret*ret%MOD;
}
int main(){
scanf("%d",&n); prework(4000000);
for(int l=1,r;l<=n;l=r+1){
r=n/(n/l);
ans=Add(ans,1ll*Sub(calc(r),calc(l-1))*calc2(n/l)%MOD);
}
printf("%d
",ans);
return 0;
}