Catalan数

学了\(Catalan\)数，赶紧复习怕自己忘记

先丢个问题吧

问题：给\(n\)个\(0\)和\(n\)个\(1\)，它们按照某种顺序排成长度为\(2n\)的数列，对于每个前缀，\(0\)的数量都不少于\(1\)的数量的数列个数。

解：令这些数排成一个长度为\(2n\)的数列，且不满足每个前缀中\(0\)的数列不少于\(1\)的数量，那么必定存在一个最小的位置\(2i+1∈[1,2n]\)，使得这个前缀中有\(i\)个\(0\)，\(i+1\)个\(1\)，而对后面的数取反后，有\(n-i-1\)个\(0\)，\(n-i\)个\(1\)，于是我们得到了一个有\(n-1\)个\(0\)，\(n+1\)个\(1\)排成的数列。

同理，如果把有\(n-1\)个\(0\)，\(n+1\)个\(1\)排成的数列继续进行上述操作，就得到了有\(n\)个\(0\)，\(n\)个\(1\)排成的数列。

这便构成了一个双射：

1. 由\(n\)个\(0\)和\(n\)个\(1\)排成的存在一个前缀中\(1\)比\(0\)多的数列。

2. 由\(n-1\)个\(0\)和\(n+1\)个\(1\)排成的数列。

然后式子就出来了

\[Cat_n=C_{2n}^n-C_{2n}^{n-1}=\frac{(2n)!}{n!\times n!}-\frac{(2n)!}{(n-1)!\times(n+1)!}=\frac{1}{n+1}\times C_{2n}^n \]

这就是卡特兰\((Catalan)\)数了