网络流基础

1. 基本概念

流网络

(G = (V,E))

有向图，一个源点，一个汇点。每条边都有一个属性（容量）。

不考虑反向边

可行流

可行流 (f) 需要满足

• 容量限制 （ (0 le f(u,v) le c(u,v)) )
• 流量守恒 （除了源点和汇点，其余点的流入等于流出）

(|f|) 表示可行流的流量

[|f| = sum_{(s,v)in E} f(s,v) - sum_{(s,v)in E} f(v,s) ]

最大流

指的是 最大可行流

残留网络

针对流网络的某一条流

记作 (G_f) ，是由流 (f) 决定的

(V_f = V) , (E_f = E + E) 的反向边

[c'(u,v) = egin{cases}c(u,v) - f(u,v) & (u,v)in E\f(u,v)end{cases} ]

残留网络 + 残留网络的一个可行流 = 原流网络的一个可行流

增广路径

在残留网络中从源点出发边权都大于0，到汇点结束的简单路径叫做增广路径。

• 增广路径一定是一个可行流
• 增广路径流量大于0

若对于一个可行流 (f) ,其 残留网络 (G_f) 若不存在增广路，则可以断定 (f) 是一个最大流

割

流网络 (G = (V,E))

把点集 (V) 分成 (S), (T) , (S cap T = empty) , (S cup T = V)

(s in S) , (t in T)

割的容量

所有从 (S) 到 (T) 的边的容量之和 (c(S,T) = sum_{uin S} sum_{v in T} c(u,v))

最小割指割的容量的最小值

割的流量

(f(S,T) = sum_{uin S}sum_{vin T}f(u,v) - sum_{vin T}sum_{uin S}f(v,u))

对任意的割，任意的一个可行流，割的流量一定小于等于割的容量

$forall S,T forall f , f(S,T) le c(S,T) $

对任意的割，任意的可行流，一定有割的流量等于可行流的流量
(forall S,T forall f \|f| = f(S,T))

证明

首先有

(f(S,T) = -f(T,S)) , (f(X,X)=0)

(f(S,X cup Y) = f(S,X) + f(S,Y)) , (X cap Y = empty)

(f(X cup Y, T) = f(X,T) + f(Y,T) , X cap Y = empty)

[f(S,T) = f(S,V) - f(S,S)\=f(S,V)\=f(s,V) + f(S-s,V)\=f(s,V) =|f| ]

最大流最小割定理

• 流 (f) 是最大流
• 流 (f) 的残留网络中不存在增广路
• 存在某个割 ([S,T]) , (|f| = c(S,T))

三者相互等价

一推二和三推一都比较简单

• ①推②

反证，若存在增广路，则可以更大流量

• ③推①

最大流 (ge |f|)

最大流 (le c(S,T) = |f|)

所以 (|f|) = 最大流

最小割 (le c(S,T) = |f| le) 最大流

此时还有 最小割=最大流

• ②推③

(S) , 在 (G_f) 中，从 (s) 出发沿容量大于0的边走，所有能走到的点

(T = V - S) ,因为没有增广路，所以 (S,T) 是一个割

(xin S,y in T) , 有 (f(x,y) = c(x,y)) ,反向边 (f(y,x) = 0)

所以 (|f| = c(S,T))