测试72.思维好题

T0:难度不是太大，关键思维要灵活。

考试状态不是太好，改题时觉得没那么难。是可以想的。

T1:语文题。题意理解要去猜测含义。找特殊的地方。

卡特兰数，DP可做。

合法指全部匹配。

发现左边右边必须放的括号数一定。其余可以分配。

枚举给左边x个（，y个），则右边也已确定，

然后卡特兰即可。

Code：

#include<bits/stdc++.h>
#define F(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
#define LL long long
#define pf(a) printf("%lld ",a)
#define phn puts("")
using namespace std;
/** 特判题*/
#define int LL
int n,m;
#define N 100010
char s[N];
const int mod=1e9+7;
int jc[N],inv[N];
int qpow(int x,int k){int s=1;for(;k;k>>=1,x=x*x%mod)if(k&1)s=s*x%mod;return s;}
int MO(int x){return x<mod?x:x-mod;}
void Parise(){
        jc[0]=1;const int maxn=5e3;
        F(i,1,maxn)jc[i]=jc[i-1]*i%mod;
        inv[maxn]=qpow(jc[maxn],mod-2);
        for(int i=maxn;i>0;--i)inv[i-1]=inv[i]*i%mod;
}
int C(int x,int y){
        if(x<y)return 0;
        if(x==y||y==0)return 1;
        return jc[x]*inv[y]%mod*inv[x-y]%mod;
}
int Cat(int x,int y){
        return MO(C(x+y,y)-C(x+y,y-1)+mod);
}
signed main(){
        Parise();
        scanf("%lld%lld%s",&n,&m,s+1);
        int t=0,a=0,b=0;
        F(i,1,m){
                if(s[i]=='(')++t;
                else if(t>0)--t;
                else ++a;
        }
        t=0;
        for(int i=m;i>0;--i){
                if(s[i]==')')++t;
                else if(t>0)--t;
                else ++b;
        } 
        LL ans=0;
        int res=n-m-a-b,resgl=res>>1;
        if(res<0||res&1){
                return puts("0"),0;
        }
        F(x,0,resgl){
                F(y,0,x){
                        ans=(ans+Cat(a+x,y)*Cat(b+resgl-y,resgl-x))%mod;
                }
        }
        ans=(ans%mod+mod)%mod;
        printf("%lld
",ans);
}
/*
g++ 1.cpp
./a.out
2000 1 (
4 4 (())
4 3 (((
*/

T2：DP好题。状态定义好题。

两种操作，*2和+1,求质因数分解中2的次数的期望。

题意转化：转化为2进制，求最低位的1,即lowbit在哪位的期望。

考试想的数位DP，但是很难写。

改变状态定义是打开思路，或优化DP的手段。

*2好处理，关键+1会进位。

所以状态要能够描述进位。

如果从最低位开始记录连续的1的个数，当加多了以后会对高位产生影响，

但是高位没有记录。

N<=200,+1的影响有限，最多+200。加到第9位最多一次。

因为高位可能有连续的1,所以不能只记录后9位。

由于要向高位进位，记录高位（9th开始）连续的1的信息。

开始没想到为什么要记录了连续的0.

因为如果后8位为0,则lowbit在高位。记录连续0可以知道lowbit。

那么f[n][s][j][k],  f[200][1<<8][200+30][0/1]即可.

O(n*(n+30)*(2^8))

整理一下，看看状态是怎么描述这个过程的。

+1进位少，因为高位几乎不受影响，并且根据n<=200可以知道+1影响的范围，所以关注的只有低位是谁，和对高位的进位。

好的状态定义只关注需要关注的，从而描述出整个过程，建立出模型。

只关注低位也是一种类似取余的思想。

Code：

#include<bits/stdc++.h>
#define F(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
#define LL long long
#define pf(a) printf("%d ",a)
#define PF(a) printf("%lld ",a)
#define phn puts("")
using namespace std;
int a,n; double P,ans;
double f[202][1<<8][1<<8][2];
#define DP f[i][s][j]
int bin[1<<8];
const double eqs=1e-4;
int main(){
    scanf("%d%d%lf",&a,&n,&P);P/=100;
    const int low=(1<<8)-1;
    int c=1,t=(a>>8)&1;
    for(int i=9;a>>i;++i){
        if(((a>>i)&1)==t){/** 第9位开始*/
            ++c;
        }else break;
    }
    f[1][a&low][c][t]=1.0;
    F(i,1,n)F(s,0,low)F(j,1,i+30){
        t=s+1;
        if(t<=low){
            F(k,0,1)f[i+1][t][j][k]+=DP[k]*(1-P);
        }else{
            f[i+1][t&low][1][1]+=DP[0]*(1-P);
            f[i+1][t&low][j][0]+=DP[1]*(1-P);
        }
        t=(s>>7)&1;
        F(k,0,1){
            if(t==k){
                f[i+1][(s<<1)&low][j+1][t]+=DP[k]*P;
            }else{
                f[i+1][(s<<1)&low][1][t]+=DP[k]*P;
            }
        }
    }
    double ans=0;
    for(int i=1,j=1;j<=8;++j,i<<=1)bin[i]=j;
    F(i,n+1,n+1)F(s,0,0)F(j,1,n+30){
        ans+=DP[0]*(7+j+1)+DP[1]*8;
    }
    F(i,n+1,n+1)F(s,1,low)F(j,1,n+30){
        ans+=(DP[0]+DP[1])*(bin[s&-s]-1);
    }
    printf("%.8lf
",ans);
}
/*
g++ 2.cpp
./a.out
1 1 50
5 3 0
5 3 25
*/

T3：

发现类似树，图论这些找性质的题不是总能想出来。没有思路时去找性质。从特殊到一般拓展。

手模，发现奇环一定不行。

判定奇环的技巧：黑白染色。

然后就不会了。。。

考虑每一个联通块。先考虑简单环。最长链是直径。

图的直径是最长的两点间最短路。

发现多个环套在一起，结论成立。

对于多个联通块，两条链可以合并，长度为总和。

考虑求直径。这里开始想麻烦了。观察数据范围，n*m<=1e8.

直接枚举所有点bfs.复杂度是没问题的。

Code：

#include<bits/stdc++.h>
#define F(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
#define pf(a) printf("%d ",a)
#define phn puts("")
using namespace std;
/**
判奇环：黑白染色。
联通块直径：所有点bfs。

SB错误
应该输出ans，而不是mx
变成了最后一个联通块的直径。。。
*/
int n,m;
#define N 2002
#define M 400010
int to[M],fir[M],head[N],cnt;
char vis[N];
int sta[N],top;
int dl[N<<1],dis[N];
void add(int x,int y){to[++cnt]=y;fir[cnt]=head[x];head[x]=cnt;}
int BW(int x){
    for(int i=head[x],v;i;i=fir[i]){
        if(vis[v=to[i]]==-1){
            vis[v]=vis[x]^1;
            if(!BW(v))return 0;
        }
        else if(vis[v]==vis[x])return 0;
    }
    return 1;
}
void Push(int x){
    sta[++top]=x;vis[x]=1;
    for(int i=head[x],v;i;i=fir[i])if(!vis[v=to[i]])Push(v);
}
int getdis(int x){
    int hd=1,tl=0,mx=0;
    memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
    dl[tl=1]=x;dis[x]=0;
    while(hd<=tl){
        int u=dl[hd++];
        for(int i=head[u],v;i;i=fir[i])
            if(dis[v=to[i]]>dis[u]+1)
            {    mx=max(mx,dis[v]=dis[u]+1),dl[++tl]=v;}
    }    
    return mx;
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    int x,y;
    F(i,1,m)scanf("%d%d",&x,&y),add(x,y),add(y,x);
    int ok=1;
    memset(vis,-1,sizeof(vis));
    F(i,1,n){
        if(vis[i]==-1){
            vis[i]=1;
            if(!BW(i)){ok=0;break;}
        }
    }    
    if(!ok)return puts("-1"),0;
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    int ans=0,mx;
    F(i,1,n)if(!vis[i]){
        Push(i);
        mx=0;
        F(j,1,top)mx=max(mx,getdis(sta[j]));
        ans+=mx;top=0;
    }
    printf("%d
",ans);
}
/*
g++ 3.cpp
./a.out
5 4
1 2
2 3
3 4
3 5

4 6
1 2
2 3
1 3
3 4
2 4
1 4
*/