博弈论
我的感受
博弈论，给人感觉很难，很玄乎吧。来嵊州集训之前，我从没有接触这种题。所以忽然碰到了一道博弈论，I was shocked！
博弈套路
以下是几种常见的博弈套路。
想要看遍Code全不怕，套路可要十分熟悉的！
巴什博弈（Bash Game）
规则：
只有一堆n个物品，两个人轮流从中取物，规定每次最少取一个，最多取m个，最后取光者为胜。
必定可以写成该式子 n=k*(m+1)+r；
结论：
若r=0，则先手必败，否则先手必胜。
Code：
1 //已知n,m,求r。 2 //由公式得： 3 //r=n%(m+1); 4 #include <bits/stdc++.h> 5 using namespace std; 6 int main() 7 { 8 int n,m; 9 while(cin>>n>>m) //循环输入各组n,m 10 if(n%(m+1)==0) 11 cout<<"后手胜"; 12 else 13 cout<<"先手胜"; 14 return 0; 15 }
证明：
若n=m+1,则无论先手取走多少（因为至少要取一个），后手一定可以一次性取走剩下的全部物品，这时后手胜；相当于k=1,r=0.
若n=(m+1)*r+s，且s<=m,r为任意自然数，此时先手只要先取s个，那么后手取k个（k<=m），然后先手再取m+1-k个，也就是某一组m+1个中的剩下的物品，这时候总数成为（m+1）*(r-1)，所以局面成为（m+1）的任意倍，那么在接下来的游戏过程中，无论后手取多少，先手总可以取走对应的数目从而使得总数恢复到（m+1）的整数倍，一直这样下去，先手必胜。
因此，在这样的游戏规则下，求k=n%(m+1)，若k不为0，则此时相当于k就是上文中提到的s，所以先手必胜，若k为0呢，则先手面临的就是当前总数为(m+1)的整数倍的情形，所以必败。
斐波那契博弈
规则：
有一堆物品，两人轮流取物品，先手最少取一个，至多无上限，但不能把物品取完，之后每次取的物品数不能超过上一次取的物品数的二倍且至少为一件，取走最后一件物品的人获胜。
结论：
当n是斐波那契数则先手必败，当n不是斐波那契数则先手必胜（n为物品总数）
证明：
用第二数学归纳法证明：
为了方便，我们将n记为f[i]。
1、当i=2时，先手只能取1颗，显然必败，结论成立。
2、假设当i<=k时，结论成立。
则当i=k+1时，f[i] = f[k]+f[k-1]。
则我们可以把这一堆石子看成两堆，简称k堆和k-1堆。
（一定可以看成两堆，因为假如先手第一次取的石子数大于或等于f[k-1]，则后手可以直接取完f[k]，因为f[k] < 2*f[k-1]）
对于k-1堆，由假设可知，不论先手怎样取，后手总能取到最后一颗。下面我们分析一下后手最后取的石子数x的情况。
如果先手第一次取的石子数y>=f[k-1]/3，则这小堆所剩的石子数小于2y，即后手可以直接取完，此时x=f[k-1]-y，则x<=2/3*f[k-1]。
我们来比较一下2/3*f[k-1]与1/2*f[k]的大小。即4*f[k-1]与3*f[k]的大小，对两值作差后不难得出，后者大。
所以我们得到，x<1/2*f[k]。
即后手取完k-1堆后，先手不能一下取完k堆，所以游戏规则没有改变，则由假设可知，对于k堆，后手仍能取到最后一颗，所以后手必胜。
即i=k+1时，结论依然成立。
当n不是Fibonacci数的时候，情况又是怎样的呢？
这里需要借助“Zeckendorf定理”（齐肯多夫定理）：任何正整数可以表示为若干个不连续的Fibonacci数之和。
关于这个定理的证明，感兴趣的同学可以在网上搜索相关资料，这里不再详述。
分解的时候，要取尽量大的Fibonacci数。
比如分解85：85在55和89之间，于是可以写成85=55+30，然后继续分解30,30在21和34之间，所以可以写成30=21+9，
依此类推，最后分解成85=55+21+8+1。
则我们可以把n写成 n = f[a1]+f[a2]+……+f[ap]。（a1>a2>……>ap）
我们令先手先取完f[ap]，即最小的这一堆。由于各个f之间不连续，则a(p-1) > ap + 1，则有f[a(p-1)] > 2*f[ap]。即后手只能取f[a(p-1)]这一堆，且不能一次取完。
此时后手相当于面临这个子游戏（只有f[a(p-1)]这一堆石子，且后手先取）的必败态，即先手一定可以取到这一堆的最后一颗石子。
同理可知，对于以后的每一堆，先手都可以取到这一堆的最后一颗石子，从而获得游戏的胜利。
威佐夫博弈（Wythoff Game）
规则：
有两堆各若干的物品，两人轮流从其中一堆取至少一件物品，至多不限，或从两堆中同时取相同件物品，规定最后取完者胜利。
结论：
若两堆物品的初始值为（x，y），且x<y，则另z=y-x；
记w=（int）[（（sqrt（5）+1）/2）*z ]；（中间为熟知的黄金分割比）
若w=x，则先手必败，否则先手必胜。
尼姆博奕(Nimm Game)
规则：
有任意堆物品，每堆物品的个数是任意的，双方轮流从中取物品，每一次只能从一堆物品中取部分或全部物品，最少取一件，取到最后一件物品的人获胜。
结论：
把每堆物品数全部异或起来
如果得到的值为0，那么先手必败，否则先手必胜。
Code：
1 #include<iostream> 2 using namespace std; 3 int main(){ 4 int n,ans,t=0;//t一定要初始化成0.因为(00000000……)(二进制)按位异或任何数都是原数 5 cout<<"输入堆的数量： "; 6 cin>>n; 7 for(int i=0;i<n;i++){//把每个 8 cin>>ans; 9 t^=ans;//异或运算 10 } 11 //判断结果 12 if(t==0) 13 cout<<"后手胜"; 14 else 15 cout<<"先手胜"; 16 return 0; 17 }
Nim Staircase博奕
尼姆博弈扩展
规则：
游戏开始时有许多硬币任意分布在楼梯上，共n阶楼梯从地面由下向上编号为0到n。游戏者在每次操作时，可以将楼梯j(1<=j<=n)上的任意多但至少一个硬币移动到楼梯j-1上。游戏者轮流操作，将最后一枚硬币移至地上（0号）的人获胜。
结论：
将奇数楼层的状态按位异或，结果为0则先手必败，否则先手必胜。