2161. 围攻
(File IO): input:siege.in output:siege.out
题目描述
经过刘邦的严密缉查，项羽的位置也就水落石出了。刘邦便趁机集合军队，进行对项羽的围攻。为了增加胜率，张良研究出一种全新的战法，目的就是一举打败难缠的项羽。
这种军队共有N个单位，一个接着一个排成一排，每个单位可以是士兵，或者是战车，这样的组合可以爆发出意想不到的强大战斗力；但有一点，两辆战车不能相邻，否则会发生剐蹭等不好的事故。刘邦希望知道这N个单位的军队都多少种不同的排列方法，以便在战场中随机应变。两种军队的排列方法是不同的，当且仅当某一个单位对应不同，如：第i位这种是士兵，那种是战车……
输入
输入仅一行，一个整数N。
输出
输出仅一行，一个整数，表示排列的方案数。
答案对 10^8+7 取模
样例输入
3
样例输出
5
数据范围限制
对于30%的数据：N≤15；
对于70%的数据：N≤10^6；
对于100%的数据：N≤10^18。
提示
以0表示士兵，1表示战车，则全部方案如下：000，100，010，001，101。
Solution
这道题是什么题？组合？数列？暴力枚举？搜索剪枝？
先打个表压压惊……
Algorithm1
#include<iostream> #include<algorithm> #include<cstdio> #include<cstring> #include<cmath> #include<map> #include<set> #include<queue> #include<vector> #define IL inline #define re register using namespace std; long long n,ans; IL void dfs(int depth,bool last) { if(depth>=n) { ans++; return; } if(!last) dfs(depth+1,1); dfs(depth+1,0); } int main() { // freopen("siege.in","r",stdin); // freopen("siege_table.out","w",stdout); for(n=1;n<=50;n++) { cout<<"n="<<n<<endl; ans=0; dfs(0,0); cout<<ans<<endl; } return 0; }
打表找规律，暴力出奇迹
n=1 2 n=2 3 n=3 5 n=4 8 n=5 13 n=6 21 n=7 34 n=8 55 n=9 89 n=10 144 n=11 233 n=12 377 n=13 610 n=14 987 n=15 1597 n=16 2584 n=17 4181 n=18 6765 n=19 10946 n=20 17711 n=21 28657 n=22 46368 n=23 75025 n=24 121393 n=25 196418 n=26 317811 n=27 514229 n=28 832040 n=29 1346269 n=30 2178309 n=31 3524578 n=32 5702887 n=33 9227465 n=34 14930352 n=35 24157817 n=36 39088169 n=37 63245986 n=38 102334155 n=39 165580141 //速度太慢了，后略……
好了，规律已找到，就是从2:1开始的斐波那契数列嘛
（然而我并没有看到取模，于是在打完表后我就去写高精度了）
证明呢？
别问我……下午听完讲后再证明吧……
Algorithm2
当然是：
暴力递推，边算边取模！
1 #include<iostream> 2 #include<algorithm> 3 #include<cstdio> 4 #include<cstring> 5 #include<cmath> 6 #include<map> 7 #include<set> 8 #include<queue> 9 #include<vector> 10 #define IL inline 11 #define re register 12 using namespace std; 13 14 15 int main() 16 { 17 // freopen("siege.in","r",stdin); 18 // freopen("siege.out","w",stdout); 19 re unsigned int n,x=2,y=1,t,mo=1e8+7; 20 cin>>n; 21 while(--n) 22 { 23 t=x; 24 x=x+y; 25 y=t; 26 while(x>=mo) 27 x-=mo; 28 } 29 printf("%d",x); 30 return 0; 31 }
经过我多次实验，
while+减法比%要快一倍
register+局部变量比无register的全局变量也要快一点点
每次只需要让x取模
y和t也会变小
以及
这还是拿不到100分！
Algorithm3
好吧……我之前在洛谷上做过这道题的算法版（只是没有这些背景）
然而，我忘记了……
对于100%的数据，n<=10^18，一些公式可以利用
公式一
f(2n)=f(n)^2-f(n-1)^2=(2f(n-1)+f(n))*f(n)
公式二
f(2n+1)=f(n+1)^2+f(n)^2
证明
下午再说……
这样的话，只要对n进行二进制运算就可以了O（log（n））
顺便加一个数组存已经计算好的斐波那契数，方便以后调用
（不过10^18貌似存不下，考虑使用map）
Code3
1 #include<iostream> 2 #include<algorithm> 3 #include<cstdio> 4 #include<cstring> 5 #include<cmath> 6 #include<map> 7 #include<set> 8 #include<queue> 9 #include<vector> 10 #define IL inline 11 #define re register 12 using namespace std; 13 map<int,int>fbnq; 14 long long mo=1e8+7; 15 IL long long f(long long num) 16 { 17 if(num==1) return 1; 18 if(num==2) return 1; 19 if(num==3) return 2; 20 if(fbnq.find(num)!=fbnq.end()) return fbnq[num]; 21 long long ans=0,n=num>>1; 22 if(num&1) 23 { 24 ans=f(n+1)*f(n+1)%mo; 25 ans+=f(n)*f(n)%mo; 26 } 27 else 28 { 29 ans=2*(f(n-1))%mo+f(n); 30 ans%=mo; 31 ans*=f(n); 32 33 } 34 ans%=mo; 35 fbnq[num]=ans; 36 return ans; 37 } 38 int main() 39 { 40 // freopen("siege.in","r",stdin); 41 // freopen("siege.out","w",stdout); 42 long long n; 43 cin>>n; 44 printf("%lld",f(n+2)); 45 return 0; 46 }
Attention
最好都开long long以防还没取模就溢出了！
还有许多细节可以优化
但是我饿了
纪中2019-08-23 12:32:06
哎……