线性代数之——微分方程和 exp(At)

本节的核心是将常系数微分方程转化为线性代数问题。

[frac{du}{dt}=lambda u quad 的解为 quad u(t) = Ce^{lambda t} ]

代入 (t=0)，可得 (u(0) = C)，因此有 (u(t) = u(0)e^{lambda t})。这是只有一个变量的情况，在线性代数里，我们扩展到 (n) 个方程的情况。

[frac{doldsymbol u}{dt}=A oldsymbol u quad 初始条件为向量 quad oldsymbol u(0)_{t=0} ]

注意，这里 (A) 是常矩阵，不随时间而改变。而且这些方程是线性的，如果 (oldsymbol u(t)) 和 (oldsymbol v(t)) 都是方程组的解，那么它们的线性组合 (Coldsymbol u(t)+Doldsymbol v(t)) 也是解，我们需要 (n) 个这样的常数来匹配方程组的初始条件。

1. (frac{doldsymbol u}{dt}=A oldsymbol u) 的解

其中一个解是 (e^{lambda t} oldsymbol x)，(lambda) 是矩阵 (A) 的特征值，而 (oldsymbol x) 是特征向量。将这个解代入原方程，利用 (Aoldsymbol x=lambda oldsymbol x) 可得

[frac{doldsymbol u}{dt} = lambda e^{lambda t} oldsymbol x = A e^{lambda t} oldsymbol x=A oldsymbol u ]

这个解的所有部分都有 (e^{lambda t})，当 (lambda>0) 时，解会增长；当 (lambda<0) 时，解会衰减。而当 (lambda) 为虚数时，则它的实部决定解是增长还是衰减。

• 例 1

求解 (frac{doldsymbol u}{dt}=A oldsymbol u = egin{bmatrix}0&1 \ 1&0end{bmatrix}oldsymbol u，oldsymbol u_0 = egin{bmatrix}4 \ 2end{bmatrix})。

矩阵 (A) 的特征值为 1 和 -1，特征向量为 (1, 1) 和 (1, -1)，因此两个纯指数解为：

[oldsymbol u_1(t) = e^{lambda_1 t} oldsymbol x_1 = e^tegin{bmatrix}1 \ 1end{bmatrix} ]

[oldsymbol u_2(t) = e^{lambda_2 t} oldsymbol x_2 = e^{-t}egin{bmatrix}1 \ -1end{bmatrix} ]

这些 (oldsymbol u) 依然是矩阵的特征向量，它们满足 (Aoldsymbol u_1 = oldsymbol u_1) 和 (Aoldsymbol u_2 = -oldsymbol u_2)，只不过是系数随着 (t) 改变罢了。方程组的全解为这些特解的线性组合。

利用初始条件我们可以确定出系数 (C) 和 (D)。

因此，我们可以通过以下三个步骤来求解 (frac{doldsymbol u}{dt}=A oldsymbol u)。

• 将 (oldsymbol u_0) 写成特征向量的线性组合，(oldsymbol u_0 = c_1 oldsymbol x_1+cdots+c_n oldsymbol x_n)；
• 将每个特征向量 (oldsymbol x_i) 乘以 (e^{lambda_i t})；
• 全解就是 (e^{lambda t}oldsymbol x) 的线性组合，(oldsymbol u(t) = c_1 e^{lambda_1 t}oldsymbol x_1+cdots+c_ne^{lambda_n t} oldsymbol x_n)。

注意，如果两个特征值相同而只有一个对应的特征向量，那么我们就需要另外一个解 (te^{lambda t}oldsymbol x)。

• 例 2

2. 二阶方程组

针对二阶方程 (my''+by'+ky=0)，我们将之转化为矩阵形式，假设 (m=1)。

因此，我们需要先求解出矩阵的特征值和特征向量。

3. 2×2 矩阵的稳定性

针对方程组的解，我们想知道随着 (t o infty)，解是否趋向于 (oldsymbol u = 0)，也就是问题是否是稳定的。这取决于矩阵的特征值。

全解是由 (e^{lambda t}oldsymbol x) 构建出来的。如果特征值 (lambda) 是实数，只有当 (lambda<0) 时，解才会趋向 0。如果特征值 (lambda) 是复数，那么有 (lambda=r+is)，那么其实部必须小于零。

对 2×2 矩阵 (egin{bmatrix}a&b \ c&dend{bmatrix}) 来说，如果其两个特征值满足上面的两个条件，则一定有：

[lambda_1 + lambda_2 < 0 o 矩阵的迹 quad T = a + d < 0 ]

[lambda_1 lambda_2 > 0 o 矩阵的行列式 quad D = ad - bc > 0 ]

4. 矩阵的指数次方

最后，我们想将方程组的解写成一个新的形式 (oldsymbol u(t) =e^{At}oldsymbol u_0)。

[e^x = 1 + x+frac{1}{2}x^2+frac{1}{6}x^3 + cdots ]

我们将 (x) 换成矩阵，可得：

[e^{At} = I + At+frac{1}{2}(At)^2+frac{1}{6}(At)^3 + cdots ]

它的导数为 (Ae^{At})：

[A + A^2t+frac{1}{2}A^3t^2+frac{1}{6}A^4t^3 + cdots =Ae^{At} ]

它的特征值是 (e^{lambda t})：

[(I + At+frac{1}{2}(At)^2+frac{1}{6}(At)^3 + cdots)x = (1+lambda t + frac{1}{2}(lambda t)^2+frac{1}{6}(lambda t)^3 + cdots)x ]

假设 (A) 有 (n) 个线性不相关的特征向量，将 (A=SLambda S^{-1}) 代入 (e^{At}) 可得：

[e^{At} = I + At+frac{1}{2}(At)^2+frac{1}{6}(At)^3 + cdots ]

[= I + SLambda S^{-1}t+frac{1}{2}(SLambda S^{-1}t)(SLambda S^{-1}t)+ cdots ]

将 (S) 和 (S^{-1}) 提取出来有

[= S(I + Lambda t+frac{1}{2}(Lambda t)^2+cdots)S^{-1} = Se^{Lambda t}S^{-1} ]

这和之前解的形式是一模一样的！

• 例 3
  

(e^{At}) 满足下面三个规则：

• (e^{At}) 总有逆矩阵 (e^{-At})；

• (e^{At}) 的特征值总是 (e^{lambda t})；

• 如果 (A) 是反对称矩阵，即 (A^T=-A)，那么 (e^{-At}) 是一个正交矩阵，转置等于逆。

• 例 4

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