均匀分布的公交站等车问题

小森在公交站等车，有三路公交车均可乘坐到达目的地。A 公交车到站的时间为 0 到 10 分钟内的任一时间点，且服从 [0, 10] 的均匀分布。同样地，B 公交车到站的时间为 0 到 20 分钟内的任一时间点，C 公交车到站的时间为 0 到 30 分钟内的任一时间点。求问小森的平均等车时间？

1. 只有两辆公交车的情况

三辆公交车分析起来比较复杂，我们可以试着先考虑只有两辆公交车的情况，弄明白了这种情况下的平均等车时间，我们自然而然就很容易推广到三辆公交车的情形。

设公交车 A 到站的时间为随机变量 (X)，那么 (X) 的取值范围为 [0, 10]，其概率密度函数为：

[f_X(x)=frac{1}{10}, quad 0 leqslant x leqslant 10 ]

同理，设公交车 B 到站的时间为随机变量 (Y)，那么 (Y) 的取值范围为 [0, 20]，其概率密度函数为：

[f_Y(y)=frac{1}{20}, quad 0 leqslant y leqslant 20 ]

小森的等待时间为随机变量 (S)，易知 (S=min(X, Y))，也即等待时间为公交车内 A、B 到站时间的较小者。其概率密度函数则为：

[f_S(s)=egin{cases} frac{1}{10}, quad s = min(x, y)=x o x leqslant y \ frac{1}{20}, quad s = min(x, y)=y o x > y end{cases}]

平均等待时间即为 (S) 的期望，

[E[S] = int f_S(s)sds = int_0^{10}frac{1}{20}Big(int_0^{y}frac{1}{10}xdxBig) dy + int_{10}^{20}frac{1}{20}Big(int_0^{10}frac{1}{10}xdxBig) dy+ int_0^{10}frac{1}{10}Big(int_0^{x}frac{1}{20}ydyBig) dx ]

上式前两项代表 (x leqslant y) 的情况，最后一项代表 (x > y) 的情况。

也可以写成下面这样的形式，

[E[S] = int f_S(s)sds = int_0^{10}frac{1}{10}Big(int_0^{x}frac{1}{20}ydy + int_{x}^{20}frac{1}{20}xdyBig) dx ]

外层积分代表 (X) 是 [0, 10] 上的均匀分布，内层积分的第一部分代表 (x > y) 的情况，第二部分代表 (x leqslant y) 的情况。

最后求得 (E[X]=frac{25}{6}approx4.1667)，也即小森的平均等车时间为 4.1667 分钟。

import numpy as np

sample_num = 1000000
a = np.random.uniform(0, 10, sample_num) # 生成一个 [0, 10] 的均匀分布
b = np.random.uniform(0, 20, sample_num) # 生成一个 [0, 20] 的均匀分布

for i in range(a.shape[0]):
    a[i] = min(a[i], b[i])

print(np.mean(a)) # 期望值，4.167499895337278

用程序随机生成数据验证后，也可得到近似的值。

2. 三辆公交车的情况

如果再增加一辆公交车 C，其到站的时间为随机变量 (Z)，那么 (Z) 的取值范围为 [0, 30]，其概率密度函数为：

[f_Z(z)=frac{1}{30}, quad 0 leqslant x leqslant 30 ]

则 (S=min(X, Y, Z))，也即等待时间为公交车内 A、B、C 到站时间的较小者。其概率密度函数则为：

[f_S(s)=egin{cases} frac{1}{10}, quad s = min(x, y, z)=x\ frac{1}{20}, quad s = min(x, y, z)=y \ frac{1}{30}, quad s = min(x, y, z)=z end{cases}]

平均等待时间即为 (S) 的期望，

[E[S] = int f_S(s)sds = int_0^{10}frac{1}{10}Big(int_0^{x}frac{1}{20} Big[int_0^{y}frac{1}{30}zdz+int_y^{30}frac{1}{30}ydzBig] dy + int_x^{20}frac{1}{20} Big[int_0^{x}frac{1}{30}zdz+int_x^{30}frac{1}{30}xdzBig] dyBig) dx ]

最外层积分代表 (X) 是 [0, 10] 上的均匀分布，中间层积分代表 (Y) 是 [0, 20] 上的均匀分布，最内层四部分分别代表 (x > y space&&space y > z)、(x > y space&&space y < z)、(x < y space&&space x > z) 和 (x < y space&&space x < z)四种情况。

最后求得 (E[X]=3.75)，也即小森的平均等车时间为 3.75 分钟。

import numpy as np

sample_num = 1000000
a = np.random.uniform(0, 10, sample_num) # 生成一个 [0, 10] 的均匀分布
b = np.random.uniform(0, 20, sample_num) # 生成一个 [0, 20] 的均匀分布
c = np.random.uniform(0, 30, sample_num) # 生成一个 [0, 30] 的均匀分布

for i in range(a.shape[0]):
    a[i] = min(a[i], b[i])
    a[i] = min(a[i], c[i])

print(np.mean(a)) # 期望值，3.748124747694317

用程序随机生成数据验证后，也可得到近似的值。

获取更多精彩，请关注「seniusen」!