z 变换

1. z 变换

单位脉冲响应为 (h[n]) 的离散时间线性时不变系统对复指数输入 (z^n) 的响应 (y[n]) 为

[ ag{1} y[n] = H(z) z^{n} ]

式中 (H(z)) 是一个复常数，为

[ ag 2 H[z] =sum_{n=-infty}^{+infty}h[n]z^{-n} ]

若 (z=e^{jomega})，这里 (omega) 为实数（即，(|z|=1)），则（2）式的求和式就是 (h[n]) 的离散时间傅里叶变换。在更为一般的情况下，当 (|z|) 不限制为 1 的时候，（2）式就称为 (h[n]) 的 (z) 变换。

一个离散时间信号 (x[n]) 的 (z) 变换定义为

[ ag 3 oxed{X(z) overset{ riangle}{=}sum_{n=-infty}^{+infty}x[n]z^{-n}} ]

若将复变量 (z) 表示成极坐标形式

[ ag{4} z = r e^{jomega} ]

用 (r) 表示 (z) 的模，而用 (omega) 表示它的相角。利用 (r) 和 (omega)，（3）式就变为

[ ag 5 X(r e^{jomega}) =sum_{n=-infty}^{+infty}x[n](r e^{jomega})^{-n} = sum_{n=-infty}^{+infty}{x[n]r^{-n}} e^{-jomega n} ]

由此可见，(X(r e^{jomega})) 就是序列 (x[n]) 乘以实指数 (r^{-n}) 后的傅里叶变换，即

[ ag 6 X(r e^{jomega}) =displaystyle mathcal F{x[n]r^{-n}} ]

在 (z) 变换中当变换变量 (z) 的模为 1 时，即 (z=e^{jomega})，(z) 变换就演变为傅里叶变换。于是，傅里叶变换就成为在复数 (z) 平面中，半径为 1 的圆上的 (z) 变换。在 (z) 平面上，这个圆称为单位圆。

一般来说，对于某一序列的 (z) 变换，存在着某一个 (z) 值的范围，对该范围内的 (z)，(X(z)) 收敛，这样一些值的范围就称为收敛域（ROC）。如果 ROC 包括单位圆，则傅里叶变换也收敛。

• 例 1
  

• 例 2
  

2. (z) 变换的收敛域

性质 1：(X(z)) 的 (ROC) 是在 (z) 平面上以原点为中心的圆环。

性质 2：(ROC) 内不包含任何极点。

性质 3：如果 (x[n]) 是有限长序列，那么 (ROC) 就是整个 (z) 平面，可能除去 (z=0) 和/或 (z=infty)。

性质 4：如果 (x[n]) 是一个右边序列，并且 (|z|=r_0) 的圆位于 (ROC) 内，那么 (|z|>r_0) 的全部有限 (z) 值都一定在这个 (ROC) 内。

性质 5：如果 (x[n]) 是一个左边序列，并且 (|z|=r_0) 的圆位于 (ROC) 内，那么 $ 0< |z| < r_0$ 的全部 (z) 值都一定在这个 (ROC) 内。

性质 6：如果 (x[n]) 是双边序列，并且 (|z|=r_0) 的圆位于 (ROC) 内，那么该 (ROC) 一定是由包括 (|z|=r_0) 的圆环所组成。

性质 7：如果 (x[n]) 的 (z) 变换 (X(z)) 是有理的，那么它的 (ROC) 就被极点所界定，或者延伸到无限远。

性质 8：如果 (x[n]) 的 (z) 变换 (X(z)) 是有理的，而且若 (x[n]) 是右边序列，那么，(ROC) 就位于 (z) 平面内最外层极点的外边；也就是半径等于 (X(z)) 极点中最大模值的圆的外边。而且，若 (x[n]) 是因果序列（即 (x[n]) 为 (n<0) 等于 (0) 的右边序列），那么，(ROC) 也包括 (z=infty)。

性质 9：如果 (x[n]) 的 (z) 变换 (X(z)) 是有理的，而且若 (x[n]) 是左边序列，那么，(ROC) 就位于 (z) 平面内最里层的非零极点的里边；也就是半径等于 (X(z)) 中除去 (z=0) 的极点中最小模值的圆的里边，并且向内延伸到可能包括 (z=0)。特别地，若 (x[n]) 是反因果序列（即 (x[n]) 为 (n>0) 等于 (0) 的左边序列），那么，(ROC) 也包括 (z=0)。

3. (z) 反变换

对（6）式两边进行傅里叶反变换可得

[ ag 7 displaystyle mathcal F^{-1}X(r e^{jomega}) =x[n]r^{-n} ]

因此

[ ag 8 x[n] = r^{n} displaystyle mathcal F^{-1}X(r e^{jomega}) = r^{n} frac{1}{2pi} int_{2pi}X(r e^{jomega}) e^{jomega n}domega ]

将 (r^n) 的指数因子移进积分号内，则有

[ ag 9 x[n] = frac{1}{2pi} int_{2pi}X(r e^{jomega}) (re^{jomega})^ ndomega ]

也就是说，将 (z) 变换沿着在 (ROC) 内 (z=re^{jomega})，(r) 固定而 (omega) 在一个 (2pi) 区间内变化的闭合围线上求值，就能将 (x[n]) 恢复出来。

现在将积分变量从 (omega) 改为 (z)。由于 (z=re^{jomega})，(r) 固定，(dz=jre^{jomega}domega=jzdomega)，或者 (domega=(1/j)z^{-1}dz)。这样，（9）式中在 (omega) 的 (2pi) 区间的积分，利用 (z) 以后，就对应于变量 (z) 在环绕 (|z|=r) 的圆上一周的积分。

[ ag{10} x[n] = frac{1}{2pi j} oint X(z) z^ {n-1}dz ]

式中，(oint) 记为在半径为 (r)，以原点为中心的封闭圆上沿逆时针方向环绕一周的积分。(r) 的值可选为使 (X(z)) 收敛的任何值，也就是使 (|z|=r) 的积分围线位于 (ROC) 的任何值。

• 确定 (z) 反变换的一种方法就是先进行部分分式展开，然后逐项求其反变换。

这种方法依赖于将 (X(z)) 展开成如下形式的部分分式：

[ ag{11} X(z) = sum_{i=1}^{m} frac{A_i}{1-a_iz^{-1}} ]

若 (X(z)) 的 (ROC) 是位于极点 (z=a_i) 的外边，那么其对应项的反变换就是 (A_i a_i^n u[n])；另一方面，若 (X(z)) 的 (ROC) 是位于极点 (z=a_i) 的里面，那么对应项的反变换就是 (-A_i a_i^n u[-n-1])。

• 确定 (z) 反变换的另一种方法是建立在 (X(z)) 的幂级数展开的基础之上。由 $ X(z) =sum_{n=-infty}^{+infty}x[n]z^{-n}$ 可知，实际上 (z) 变换就是涉及 (z) 的正幂和负幂的一个幂级数，这个幂级数的系数就是序列值 (x[n])。

用幂级数展开法来求 (z) 反变换对非有理的 (z) 变换式特别有用。

4. (z) 变换的性质

4.1. 线性

若

[x_1[n] overset{{displaystyle {mathcal {z}}}}{leftrightarrow} X_1(z) quad ROC=R_1 ]

和

[x_2[n] overset{{displaystyle {mathcal {z}}}}{leftrightarrow} X_2(z) quad ROC=R_2 ]

则

[ ag{12} oxed{ ax_1[n]+bx_2[n] overset{{displaystyle {mathcal {z}}}}{leftrightarrow} aX_1(z)+bX_2(z) quad ROC space包括 space R_1 cap R_2} ]

4.2. 时移性质

若

[x[n] overset{{displaystyle {mathcal {z}}}}{leftrightarrow} X(z) quad ROC=R ]

则

[ ag{13} oxed{ x[n-n_0] overset{{displaystyle {mathcal {z}}}}{leftrightarrow} z^{-n_0}X(z) quad ROC=R space 原点或无限远点可能加上或除掉} ]

4.3. (z) 域尺度变换

若

[x[n] overset{{displaystyle {mathcal {z}}}}{leftrightarrow} X(z) quad ROC=R ]

则

[ ag{14} oxed{ z_0^nx[n] overset{{displaystyle {mathcal {z}}}}{leftrightarrow} X(frac{z}{z_0}) quad ROC=|z_0|R } ]

这就是说，若 (z) 是在 (X(z)) 的 (ROC) 内的一点，那么点 (|z_0|z) 就在 (X(z/z_0)) 的 (ROC) 内。

4.4. 时间反转

若

[x[n] overset{{displaystyle {mathcal {z}}}}{leftrightarrow} X(z) quad ROC=R ]

则

[ ag{15} oxed{ x[-n] overset{{displaystyle {mathcal {z}}}}{leftrightarrow} X(frac{1}{z}) quad ROC=frac{1}{R} } ]

这就是说，若 (z_0) 是在 (x[n]) 的 (z) 变换 (ROC) 内，那么点 (1/z_0) 就在 (x[-n]) 的 (z) 变换 (ROC) 内。

4.5. 时间扩展

若令 (k) 是一个正整数，并且定义

[ ag{16} x_{(k)}[n] = egin{cases} x[n/k] & ext 当space n space为space kspace的整数倍 \ 0, & ext 当space n space不为space kspace的整数倍 end{cases}]

若

[x[n] overset{{displaystyle {mathcal {z}}}}{leftrightarrow} X(z) quad ROC=R ]

则

[ ag{17} oxed{ x_{(k)}[n] overset{{displaystyle {mathcal {z}}}}{leftrightarrow} X(z^k) quad ROC=R^{1/k} } ]

这就是说，若 (z) 是在 (X(z)) 的 (ROC) 内，那么点 (z^{1/k}) 就在 (X(z^k)) 的 (ROC) 内。

4.6. 共轭

若

[x[n] overset{{displaystyle {mathcal {z}}}}{leftrightarrow} X(z) quad ROC=R ]

则

[ ag{18} oxed{ x^*[n] overset{{displaystyle {mathcal {z}}}}{leftrightarrow} X^*(z^*) quad ROC=R } ]

4.7. 卷积性质

若

[x_1[n] overset{{displaystyle {mathcal {z}}}}{leftrightarrow} X_1(z) quad ROC=R_1 ]

和

[x_2[n] overset{{displaystyle {mathcal {z}}}}{leftrightarrow} X_2(z) quad ROC=R_2 ]

则

[ ag{19} oxed{ x_1[n] * x_2[n] overset{{displaystyle {mathcal {z}}}}{leftrightarrow} X_1(z)X_2(z) quad ROC space包括 space R_1 cap R_2} ]

4.8. (z) 域微分

若

[x[n] overset{{displaystyle {mathcal {z}}}}{leftrightarrow} X(z) quad ROC=R ]

则

[ ag{20} oxed{ nx[n] overset{{displaystyle {mathcal {z}}}}{leftrightarrow} -zfrac{dX(z)}{dz} quad ROC=R } ]

4.9. 初值定理

若 (n <0, x[n]=0)，则

[ ag{21} x[0] = lim_{z o infty}X(z) ]

4.10. 终值定理

若 (n <0, x[n]=0)，其 (z) 变换的极点，除可以有一个一阶极点在 (z=1) 上，其它极点均在单位圆内，则

[ ag{21} lim_{n o infty}x[n] = lim_{z o 1}(z-1)X(z) ]

4.11. 性质小结

4.12. 几个常用的 (z) 变换对

5. 利用 (z) 变换分析与表征线性时不变系统

在离散时间 (LTI) 系统的分析和表示中，(z) 变换有其特别重要的作用，由卷积性质可得

[ ag{23} Y(z) = H(z) X(z) ]

式中 (X(z)、Y(z) 、H(z)) 分别是系统输入、输出和单位脉冲响应的(z) 变换 。(H(z)) 称为系统的系统函数或转移函数。

5.1. 因果性

一个因果 (LTI) 系统其单位脉冲响应 (h[n])是对于 (n<0，h[n] = 0)，因此是一个右边序列。由性质 4 知道 (H(z)) 的 (ROC) 是位于 (z) 平面内某一个圆的外边。由性质 8 可知，对于一个因果序列，这个幂级数中，

[ ag{24} H(z) =sum_{n=0}^{infty}h[n]z^{-n} ]

不包含任何 (z) 的正幂次项，因此 (ROC) 包括无限远点。综上所述，就得出如下属性：

一个离散时间 (LTI) 系统当且仅当它的系统函数的 (ROC) 是在某一个圆的外边，且包括无限远点，该系统就是因果的。

如果 (H(z)) 是有理的，那么该系统要是因果的，其 (ROC) 必须位于最外层极点的外边，且无限远点必须在 (ROC) 内；等效地说，随 (z o infty) 时， (H(z)) 的极限必须是有限的。这就等效于，当 (H(z)) 的分子和分母都是表示成的 (z) 的多项式时，其分子的阶次不会大于分母的阶次。即

一个具有有理系统函数 (H(z)) 的 (LTI) 系统要是因果的，当且仅当：(1) (ROC) 位于最外层极点某一个圆的外面；和 (2) 若 (H(z)) 表示成 (z) 的多项式之比，其分子的阶次不能大于分母的阶次。

5.2. 稳定性

一个离散时间 (LTI) 系统的稳定性就等效于它的单位脉冲响应是绝对可和的，在这种情况下， (h[n]) 的傅里叶变换收敛，结果就是 (H(z)) 的 (ROC) 必须包括单位圆。综上所述，可得如下结果：

一个 (LTI) 系统当且仅当它的系统函数 (H(z)) 的 (ROC) 包括单位圆，该系统就是稳定的。

对于一个具有有理系统函数的因果系统而言，(ROC) 位于最外层极点的外边。对于这个包括单位圆的 (ROC) ，系统的全部极点都必须位于单位圆内，即

一个具有有理系统函数的因果 (LTI) 系统，当且仅当 (H(z)) 的全部极点都位于单位圆内时，也即全部极点模均小于 1 时，系统就是稳定的。

5.3. 由线性常系数差分方程表征的 (LTI) 系统

对于一般的 (N) 阶差分方程，可以对方程两边进行 (z) 变换，并利用线性和时移性质。现考虑一个 (LTI) 系统，其输入、输出满足如下线性常系数差分方程：

[ ag{25} sum_{k=0}^{N}a_ky[n-k] = sum_{k=0}^{M}b_kx[n-k] ]

对式（25）两边取 (z) 变换，可得

[ ag{26} sum_{k=0}^{N}a_k z^{-k}Y(z) = sum_{k=0}^{M}b_k z^{-k}X(z) ]

这样就有

[ ag{27} H(z) = frac{Y(z)}{X(z)} = frac{displaystyle sum_{k=0}^{M}b_k z^{-k}}{displaystyle sum_{k=0}^{N}a_k z^{-k}} ]

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