1. 四个基本子空间
- 行空间 (C(A^T))，一个 (R^n) 的子空间，由所有行的线性组合构成，维数为 (r)
- 列空间 (C(A))，一个 (R^m) 的子空间，由所有列的线性组合构成，维数为 (r)
- 零空间 (N(A))，一个 (R^n) 的子空间，由所有 (Ax=0) 的解的线性组合构成，维数为 (n-r)
- 左零空间 (N(A^T))，一个 (R^m) 的子空间，由所有 (A^Ty=0) 或者 (y^TA=0^T) 的解的线性组合构成，维数为 (m-r)
2. (R) 的四个基本子空间
假设 (A) 的最简行阶梯形式为 (R)，我们可以很容易地从 (R) 找到四个子空间。
矩阵 (R) 中有两个主元，因此其秩为 2。
行空间的维数等于秩，为 2，其中一个基可以取 (R) 的前两行。
列空间的维数等于秩，为 2，主元所在的列为第一列和第四列，因此其中一个基为 (R) 中对应的两列。
零空间的维数等于 (n-r)，为 3，有三个自由变量，因此对应着三个特解，它们就是零空间的一个基。
左零空间寻找的是 (R) 的行的线性组合来产生一个零向量。
显而易见，(y_1) 和 (y_2) 必须为 0，而 (y_3) 可以取任意值。左零空间的一个基为 (0, 0, 1)，维数为 (m-r=1)。
2. (A) 的四个基本子空间
(R) 和 (A) 有着相同的行空间、维数 (r) 和基。
(EA=R quad A = E^{-1}R)
由矩阵乘法可知，(R) 的每一行都是对 (A) 的行的线性组合，而且 (A) 的每一行也都是对 (R) 的行的线性组合。因此，消元只是改变了行，并没有改变行空间。
(Ax=0) 当且仅当 (Rx=0)，它们的 (r) 个主列都是不相关的，它们的列空间维数都为 (r)。
其中 (A) 的列可以看作是对 (E^{-1}) 的列的线性组合，因此 (A) 和 (E^{-1}) 有着相同的列空间。
(R) 和 (A) 有着相同的零空间、维数和基，因为消元并不改变方程组的解。
(A) 的左零空间维数为 (m-r)。
因为 (R) 的最后 (m-r) 行为全零行，也就是 (E) 中最后 (m-r) 行对 (A) 的行的线性组合产生了零向量，因此它们是左零空间的一个基。
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