数论2：素数筛

埃氏筛

判断素数可通过试除小于\(\sqrt n\)的素数来实现，那么将其反过来，只要将\(<= \sqrt n\)的素数的倍数都删掉，那么就能得到一张\(<=n\)的素数表，\(O(n\lg \lg n)\)

// 需划掉合数，所以最初假设均为素数，即数组初始化为0
bool composite[maxn];

void generate(int n)
{
    for(int i = 2, lim = sqrt(n); i <= lim; ++i) {
        if(composite[i]) continue;
        for(int j = i*i; j <= n; j += i)
            composite[j] = 1;
    }
    for(int i = 2; i < n; ++i)
        if(!composite[i]) printf("%d ", i);
    putchar('\n');
}

线性筛

埃氏筛的问题在于一个合数可能会被多个素数删除，造成不必要操作。为解决该问题，注意到每个合数均可写成其最小素因数p乘C，即\(n=pC\)，其中必有\(C \ge p\)，因为若非如此，当C为素数时，不满足假设“p为最小素因数”；当C为合数时，其必能分解除小于C的素因数，同样不满足假设“p为最小素因数”。线性筛就是通过从小到大地遍历C来保证每个合数均被，其仅被删除一次。

// composite同样初始化为0；np是素数个数；prime保存找到的素数
bool composite[maxn];
int np, prime[maxn];

void generate2(int n)
{
    // 这里的i就是上述讨论中的C
    for(int i = 2; i <= n; ++i) {
        if(!composite[i]) prime[np++] = i;
        for(int j = 0; j<np && i*prime[j]<=n; ++j) {
            composite[i*prime[j]] = 1;
            // 为什么在这里break，类比完全背包思考一下 (^_^)
            if(i % prime[j] == 0) break;
        }
    }
    for(int i = 0; i < np; ++i)
        printf("%d ", prime[i]);
    putchar('\n');
}