多项式的各种操作

多项式求逆

给定多项式(A(x))，求一个多项式(B(x))满足(A(x)B(x)=1left( ext{mod} x^n ight))。

假设已求出多项式(C(x))满足(A(x)C(x)=1left( ext{mod} x^{lceilfrac{n}{2} ceil} ight))。

又因为(A(x)B(X)=1left( ext{mod} x^{lceilfrac{n}{2} ceil} ight))，

( herefore A(x)left(B(x)-C(x) ight)=0left( ext{mod} x^{lceilfrac{n}{2} ceil} ight))

(ecause A(x) ot=0left( ext{mod} x^{lceilfrac{n}{2} ceil} ight))

( herefore B(x)-C(x)=0left( ext{mod} x^{lceilfrac{n}{2} ceil} ight))

( herefore left(B(x)-C(x) ight)^2=0left( ext{mod} x^n ight))

( herefore B^2(x)+C^2(x)-2B(x)C(x)=0left( ext{mod} x^n ight))

两边同乘(A(x))得(A(x)C^2(x)+B(x)-2C(x)=0left( ext{mod} x^n ight))

( herefore B(x)=C(x)(2-C(x)A(x))left( ext{mod} x^n ight))

多项式除法

已知(A(x),B(x))，求(A(x)=B(x)D(x)+R(x))

其中，(A(x))有n项，(B(x))有m项，(D(x))有n-m+1项，(R(x)<m-1)项。

定义(A(x))的翻转(A^R(x)=x^{n-1}A(frac{1}{x})=sum_{i=0}^{n-1}a_{n-i-1}x^i)

(left. egin{array}{rl}\ A^R(x)&=x^{n-1}Aleft(frac{1}{x} ight)\ &=x^{n-1}left(Bleft(frac{1}{x} ight)Dleft(frac{1}{x} ight)+Rleft(frac{1}{x} ight) ight)\ &=x^{n-m}Dleft(frac{1}{x} ight)x^{m-1}Bleft(frac{1}{x} ight)+x^{n-m+1}x^{m-2}Rleft(frac{1}{x} ight)\ &=D^R(x)B^R(x)+x^{n-m+1}R^R(x) end{array} ight.)

( herefore A^R(x)=B^R(x)D^R(x)( ext{mod} x^{n-m+1}))
( D^R(x)=frac{A^R(x)}{B^R(x)}( ext{mod} x^{n-m+1}))

然后即可求出(D(x))，代回去即可求出(R(x))。

多项式牛顿迭代

牛顿迭代：

求函数(f(x))的零点：

随便选一个点(x_0)，把(f(x))泰勒展开，

(f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+cdots)

然后只保留线性部分，得到

(f(x)approx f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)=0)

然后令(x_0leftarrow x_0-frac{f(x_0)}{f'(x_0)})，多次迭代后求出近似解。

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现在考虑的是多项式函数(f(A(x)))。考虑倍增：

当n=1时，直接算出来。

现在已经求出来(f(A_0(x))=0left( ext{mod} x^{lceilfrac{n}{2} ceil} ight))，那么考虑泰勒展开，

(f(A(x))=f(A_0(x))+f'(A_0(x))(A(x)-A_0(x))+frac{f''(A_0(x))}{2}(A(x)-A_0(x))^2+cdots)

因为(A(x))有n项，(A_0(0))有(lceilfrac{n}{2} ceil)项，而他们的前(lceilfrac{n}{2} ceil)完全相同，那么(A(x)-A_0(x))的前(lceilfrac{n}{2} ceil)项为0，那么((A(x)-A_0(x))^2)及更高项的前n项均为0。所以对于多项式来说，保留线性部分得到的就是准确解。

( herefore A(x)=A_0(x)-frac{f(A_0(x))}{f'(A_0(x))})

1. 多项式函数求导时，应把常数多项式看做常数来求导，例如：$$f(A(x))=A^2(x)+B(x)$$那么$$f'(A(x))=2A(x), ot=2A(x)+B'(x)$$（其实求的就是(frac{df}{dA})）

2. 多零点的函数，求出来的是哪个零点，取决于常数项取哪个零点，零点的数量取决于常数项的零点的个数。

多项式对数

求(B(x)=ln(A(x))( ext{mod} x^n))

(ln(A(x))=int(ln(A(x)))'=intfrac{A'(x)}{A(x)})

只需要多项式求逆和多项式求导。

多项式exp

求出(e^{A(x)}( ext{mod} x^n))

设(f(x)=e^{A(x)}( ext{mod} x^n))

(ln f(x)-A(x)=0( ext{mod} x^n))

设(g(f(x))=ln f(x)-A(x))

然后牛顿迭代，

[f(x)=f_0(x)-frac{ln f_0(x)-A(x)}{cfrac{1}{f_0(x)}} ]

[f(x)=f_0(x)(1-ln f_0(x)+A(x)) ]

多项式幂

(A^k(x)( ext{mod} x^n))

(A^k(x)=e^{kln A(x)}( ext{mod} x^n))

警惕大常数。

其中的k可以是个多项式。

多项式三角函数

求

[sin(A(x))( ext{mod }x^n) ext{和}cos(A(x))( ext{mod }x^n) ]

用欧拉公式(e^{ix}=cos x+isin x)，

(e^{iA(x)}=cos A(x)+isin A(x))

似乎这个没什么用。。。

多项式开方

已知(A(x))，求：

[B^2(x)=A(x)( ext{mod }x^n) ]

设(g(f(x))=f^2(x)-A(x))，要求的就是这个函数的零点啦。

那么套牛顿迭代，

[f(x)=f_0(x)-frac{f_0^2(x)-A(x)}{2f_0(x)}=frac{f_0^2(x)+A(x)}{2f_0(x)} ]

常数项上有个东西叫做二次剩余。

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例题

代码