射线与球的相交性检测

 

图形码农 2016-07-13 13:37:33 

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分类专栏： 碰撞检测

从图形来说

射线和圆相交, origin是射线起点， dir是射线的方向向量。p0，p1是两个交点，center为圆心，半径为R，d为圆心到射线的距离。

我们先以2D切面图来说明，当射线和圆相交的时候，可以看到，球心 center 到射线 ray 的距离 d <= R，这个即为相交的条件。那么射线与球相切就转化为了球心到射线的距离d的判断。先求出d：

1. 设圆心在射线上的投影为c'，则 origin，center, c' 形成了一个直角三角形。
2. 获得射线起点到圆心的向量 Voc = Vcenter - Vorigin
3. 在射线方向上的投影为: Poc = Voc·dir
4. 勾股定理：d·d = Voc·Voc - Poc·Poc

可以求出d的数值，

• d < R，射线穿过圆，与圆有两个交点。
• d = R，射线与圆相切，有一个交点为切点。
• d > R，射线在圆外，没有交点。

接下来求P0，P1：

1. c'，center，P0 or P1点构成直角三角形。
2. P0 or P1到c'的距离 tca·tca = R·R - d·d;
3. 有如下式子

1. P0 = dir·( |Poc| - tca );
2. P1 = dir·( |Poc| + tca );

要注意，没有交点的时候， tca·tca < 0 是没办法开平方的

推导三维情况可以照上面的去做，dot能保证投影点在同一个平面上的。

附代码

1. bool Intersect(const Ray& ray, const Sphere& sphere, float& t0, float& t1)
2. {
3. Vector3 oc = sphere.GetCenter() - ray.GetOrigin();
4. float projoc = dot(ray.GetDirection(), oc);
6. if (projoc < 0)
7. return false;
9. float oc2 = dot(oc, oc);
10. float distance2 = oc2 - projoc * projoc; //计算出的球心到射线的距离
12. if (distance2 > sphere.GetRadiusSquare())
13. return false;
15. float discriminant = sphere.GetRadiusSquare() - distance2; //使用勾股定理，计算出另一条边的长度
16. if(discriminant < FLOAT_EPSILON) //表明只有一个交点，射线与球相切
17. t0 = t1 = projoc;
18. else
19. {
20. discriminant = sqrt(discriminant);
21. t0 = projoc - discriminant;
22. t1 = projoc + discriminant;
23. if (t0 < 0)
24. t0 = t1;
25. }
26. return true;
27. }

 

从方程角度来看

射线方程：ray : P(t) = O + D·t ( t >= 0 )

球的方程：sphere : sqr( P-C ) = R·R (sqr(x) = x^2 = x·x)

O=origin, D=direction, C=center, R=radius

射线方程表明的是如下一个点的集合P，当t从零增大时, D·t会沿着D向量的方向从零逐步变长，t 取值无限表示了射线单方向。从O点开始在D方向上无限个点构成了一条射线。

球的方程表明了任何点P，只要到C点的距离等于半径R，则表明点在球面上，这么一个球面上的点的集合。

因此当射线与球相交的时候，这个点既在射线上，又在球面上。等式射线的P(t) = 球的P成立。

联立两个方程，试着求解 t 有：

sqr( O + D·t - C ) = R·R

设 O-C=OC，有：

1. sqr( OC+D·t ) - R·R = 0
2. //展开得到如下式子
3. => D·D·t·t + 2·OC·D·t + OC·OC - R·R = 0
4. => (D·D)·t·t + 2·(OC·D)·t + OC·OC - R·R = 0

因为 D 是单位向量有D·D = dot(D, D) = 1最后方程为：

t·t + 2·(OC·D)·t + OC·OC - R·R = 0;

这是一个关于 t 的二次方程at^2 + bt + c = 0那么解就已经出来了：

• t0 = -(b + √Δ) / 2a
• t1 = -(b - √Δ) / 2a

• a = D·D = dot(D, D) = 1;
• b = 2·OC·D = 2·dot(OC, D);
• c = OC·OC - R·R = dot(OC, OC) - R·R;
• 判别式 Δ = sqr(b) - 4ac

= 4·sqr( OC·D ) - 4·( OC·OC - R·R )

= 4·( sqr( OC·D ) - OC·OC + R·R );

如果判别式 Δ > 0，则表明球与射线相交。

根据以上方程，我们其中试着展开 t 的式子

t0 = -(b + √Δ) / 2a = -(b + √Δ) / 2·1

= -b/2 - √(Δ/4)

= -dot(OC, D) - √( sqr( dot(OC, D) ) - dot(OC, OC) + R·R )

求出 t 后可以根据P(t) = O + D * t 得到交点。

附chai3d中的计算代码

1. inline int cIntersectionSegmentSphere(const cVector3d& a_segmentPointA,
2. const cVector3d& a_segmentPointB,
3. const cVector3d& a_spherePos,
4. const double& a_sphereRadius,
5. cVector3d& a_collisionPoint0,
6. cVector3d& a_collisionNormal0,
7. cVector3d& a_collisionPoint1,
8. cVector3d& a_collisionNormal1)
9. {
10. // temp variables
11. cVector3d AB, CA;
12. a_segmentPointB.subr(a_segmentPointA, AB);
13. a_segmentPointA.subr(a_spherePos, CA);
14. double radiusSq = a_sphereRadius * a_sphereRadius;
16. double a = AB.lengthsq();
17. double b = 2.0 * cDot(AB, CA);
18. double c = CA.lengthsq() - radiusSq;
20. // invalid segment
21. if (a == 0)
22. {
23. return (0);
24. }
26. double d = b*b - 4*a*c;
28. // segment ray is located outside of sphere
29. if (d < 0)
30. {
31. return (0);
32. }
33. // segment ray intersects sphere
34. d = sqrt(d);
35. double e = 2.0 * a;
36. // compute both solutions
37. double u0 = (-b + d) / e;
38. double u1 = (-b - d) / e;
39. // check if the solutions are located along the segment AB
40. bool valid_u0 = cContains(u0, 0.0, 1.0);
41. bool valid_u1 = cContains(u1, 0.0, 1.0);
42. // two intersection points are located along segment AB
43. if (valid_u0 && valid_u1)
44. {
45. if (u0 > u1) { cSwap(u0, u1); }
47. // compute point 0
48. AB.mulr(u0, a_collisionPoint0);
49. a_collisionPoint0.add(a_segmentPointA);
51. a_collisionPoint0.subr(a_spherePos, a_collisionNormal0);
52. a_collisionNormal0.normalize();
54. // compute point 1
55. AB.mulr(u1, a_collisionPoint1);
56. a_collisionPoint1.add(a_segmentPointA);
58. a_collisionPoint1.subr(a_spherePos, a_collisionNormal1);
59. a_collisionNormal1.normalize();
61. return (2);
62. }
64. // one intersection point is located along segment AB
65. else if (valid_u0)
66. {
67. // compute point 0
68. AB.mulr(u0, a_collisionPoint0);
69. a_collisionPoint0.add(a_segmentPointA);
71. a_collisionPoint0.subr(a_spherePos, a_collisionNormal0);
72. a_collisionNormal0.normalize();
74. // check dot product to see if the intial segment point is located
75. // inside the sphere.
76. double dotProduct = cDot(AB, a_collisionNormal0); //如果射线在球内部与球发生相交，就不能算作相交，保证射线运动的方向性，射线从球体出来时的交点不算作相交点
77. if (dotProduct < 0.0)
78. {
79. return (1);
80. }
81. else
82. {
83. return (0);
84. }
85. }
86. // one intersection point is located along segment AB
87. else if (valid_u1)
88. {
89. // compute point 0
90. AB.mulr(u1, a_collisionPoint0);
91. a_collisionPoint0.add(a_segmentPointA);
92. a_collisionPoint0.subr(a_spherePos, a_collisionNormal0);
93. a_collisionNormal0.normalize();
94. // check dot product to see if the intial segment point is located
95. // inside the sphere.
96. double dotProduct = cDot(AB, a_collisionNormal0);
97. if (dotProduct < 0.0)
98. {
99. return (1);
100. }
101. else
102. {
103. return (0);
104. }
105. }
106. // both points are located outside of the segment AB
107. else
108. {
109. return (0);
110. }
111. }</span>

文／goteet（简书作者）

原文链接：http://www.jianshu.com/p/1b008ed86627

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