数据结构之三-红黑树

概述

　　搜索二叉树在插入的数据是有序的时候会非常不平衡，几乎变成了线性结构，如插入数据顺序为10,20,30,40,50，那么该二叉树的结构会如下图所示，那么这样就和链表没啥区别，查找的时间复杂度就为O(n)，而不是O(logN),为了以较快的时间搜索一颗树，我们就要保证这颗树的平衡性，也就是树的左右子树节点个数趋近相等，红黑树就是这样一颗平衡树，红黑树对插入的数据项会进行检查，如果插入项破坏了树的平衡，树会自动修复。

1.1红黑树特征

1 树中节点非黑及红

2 插入和删除节点必须遵循红黑规则：

　   1.每个节点不是红色就是黑色的；

　　2.根节点总是黑色的；

　　3.如果节点是红色的，则它的子节点必须是黑色的（反之不一定）,(也就是从每个叶子到根的所有路径上不能有两个连续的红色节点)；

　　4.从根节点到叶节点或空子节点的每条路径，必须包含相同数目的黑色节点（即相同的黑色高度）。

注意：新插入的节点颜色总是红色的，这是因为插入一个红色节点比插入一个黑色节点违背红-黑规则的可能性更小，原因是插入黑色节点总会改变黑色高度（违背规则4），但是插入红色节点只有一半的机会会违背规则3（因为父节点是黑色的没事，父节点是红色的就违背规则3）另外违背规则3比违背规则4要更容易修正。当插入一个新的节点时，可能会破坏这种平衡性，那么红-黑树是如何修正的呢？

1.2 红黑树自我修正方法

红黑树节点实体类

public class RBNode<T extends Comparable<T>> {
    boolean color;//颜色
    T key;//关键值
    RBNode<T> left;//左子节点
    RBNode<T> right;//右子节点
    RBNode<T> parent;//父节点
     
    public RBNode(boolean color,T key,RBNode<T> parent,RBNode<T> left,RBNode<T> right){
        this.color = color;
        this.key = key;
        this.parent = parent;
        this.left = left;
        this.right = right;
    }
     
    //获得节点的关键值
    public T getKey(){
        return key;
    }
}

　　

1.2.1改变节点颜色

　　新插入的节点为15，一般新插入颜色都为红色，那么我们发现直接插入会违反规则3，改为黑色却发现违反规则4。这时候我们将其父节点颜色改为黑色，父节点的兄弟节点颜色也改为黑色。通常其祖父节点50颜色会由黑色变为红色，但是由于50是根节点，所以我们这里不能改变根节点颜色。

1.2.2 右旋

　　首先要说明的是节点本身是不会旋转的，旋转改变的是节点之间的关系，选择一个节点作为旋转的顶端，如果做一次右旋，这个顶端节点会向下和向右移动到它右子节点的位置，它的左子节点会上移到它原来的位置。右旋的顶端节点必须要有左子节点。

1.2.3 左旋

左旋代码实现(右旋正好相反，原理一样)：

/**
     * 以C为轴做左旋
     * 左旋操作做了三件事
     * 1 将的B的左子节点赋给C的右子节点，并将C赋予B的左子节点
     * 2 将C的父节点A赋给B的父节点，同时更新A的子节点为B(区分左右)
     * 3 将B的左子节点设置为C,将C父节点设置为B
     * @param C
     */
    private void leftRotate(RBNode<T> C){
        RBNode<T> root;
        RBNode<T> B = C.right;
        /*  1 将的B的左子节点赋给C的右子节点，
            并将B的左子节点父节点指向C(B的左子节点不为空)
         */
        C.right = B.left;
        if(B.left != null){
            B.left.parent=C;
        }
        /*
            2 将C的父节点A赋给B的父节点，同时更新A的子节点为B(区分左右)
         */
        B.parent = C.parent;
        if(C.parent == null){
            root=B;//如果C为根节点则将B设置为根
        }else{
            if(C == C.parent.left){
                C.parent.left = B;
            }else{
                C.parent.right = B;
            }
        }
        //3 将B的左子节点设置为C,将C父节点设置为B
        B.left = C;
        C.parent = B;
    }

　2 插入操作

和搜索二叉树一样，都是都是得先找到插入的位置，然后再将节点插入，最后利用旋转操作修正红黑树；修正的过程要分情况讨论。

1：如果是第一次插入，由于原树为空，所以只会违反红-黑树的规则2，所以只要把根节点涂黑即可；

2：如果插入节点的父节点是黑色的，那不会违背红-黑树的规则，什么也不需要做；

但是遇到如下三种情况，我们就要开始变色和旋转了：

　　①、插入节点的父节点和其叔叔节点（祖父节点的另一个子节点）均为红色。

　　②、插入节点的父节点是红色的，叔叔节点是黑色的，且插入节点是其父节点的右子节点。

　　③、插入节点的父节点是红色的，叔叔节点是黑色的，且插入节点是其父节点的左子节点。

　　下面我们挨个分析这三种情况都需要如何操作，然后给出实现代码。

　　在下面的讨论中，使用N,P,G,U表示关联的节点。N(now)表示当前节点，P(parent)表示N的父节点，　　

        U(uncle)表示N的叔叔节点，G(grandfather)表示N的祖父节点，也就是P和U的父节点。

        ①、插入节点的父节点和其叔叔节点均为红色。此时，肯定存在祖父节点，但是不知道父节点是其左子节点还是右子节点，但是由于对称性，我们只要讨论出一边的情况，另一种情况自然也与之对应。这里考虑父节点是其祖父节点的左子节点的情况，如下左图所示：

　　　　　　　　　　　　　　　　情况1

　　对于这种情况，我们要做的操作有：将当前节点(4) 的父节点(5) 和叔叔节点(8) 涂黑，将祖父节点(7)涂红,变成了上有图所示的情况。再将当前节点指向其祖父节点，再次从新的当前节点开始算法（具体看下面的步骤）。这样上右图就变成情况2了。

　　　　　　　　　　　　　　　　情况2

对于情况2：插入节点的父节点是红色的，叔叔节点是黑色的，且插入节点是其父节点的右子节点。我们要做的操作有：将当前节点(7)的父节点(2)作为新的节点，以新的当前节点为支点做左旋操作。完成后如左下图所示，这样左下图就变成情况3了。

　　　　　　　　　　　　　　　　　情况3

 

　　对于情况3：插入节点的父节点是红色，叔叔节点是黑色，且插入节点是其父节点的左子节点。我们要做的操作有：将当前节点的父节点(7)涂黑，将祖父节点(11)涂红，在祖父节点为支点做右旋操作。最后把根节点涂黑，整个红-黑树重新恢复了平衡，如右上图所示。至此，插入操作完成！

　　　　　　　　　　　　　　　　修复完的红黑树

 

红黑树修复代码：

private void insertFixUp(RBNode<T> node){
    RBNode<T> parent,gparent;//定义父节点和祖父节点
     
    //需要修正的条件：父节点存在，且父节点的颜色是红色
    while(((parent = parentOf(node)) != null) && isRed(parent)){
        gparent = parentOf(parent);//获得祖父节点
         
        //若父节点是祖父节点的左子节点，下面的else相反
        if(parent == gparent.left){
            RBNode<T> uncle = gparent.right;//获得叔叔节点
             
            //case1:叔叔节点也是红色
            if(uncle != null && isRed(uncle)){
                setBlack(parent);//把父节点和叔叔节点涂黑
                setBlack(uncle);
                setRed(gparent);//把祖父节点涂红
                node = gparent;//把位置放到祖父节点处
                continue;//继续while循环，重新判断
            }
             
            //case2:叔叔节点是黑色，且当前节点是右子节点
            if(node == parent.right){
                leftRotate(parent);//从父节点出左旋
                RBNode<T> tmp = parent;//然后将父节点和自己调换一下，为下面右旋做准备
                parent = node;
                node = tmp;
            }
             
            //case3:叔叔节点是黑色，且当前节点是左子节点
            setBlack(parent);
            setRed(gparent);
            rightRotate(gparent);
        }else{//若父节点是祖父节点的右子节点，与上面的情况完全相反，本质是一样的
            RBNode<T> uncle = gparent.left;
             
            //case1:叔叔节点也是红色的
            if(uncle != null && isRed(uncle)){
                setBlack(parent);
                setBlack(uncle);
                setRed(gparent);
                node = gparent;
                continue;
            }
             
            //case2:叔叔节点是黑色的，且当前节点是左子节点
            if(node == parent.left){
                rightRotate(parent);
                RBNode<T> tmp = parent;
                parent = node;
                node = tmp;
            }
             
            //case3:叔叔节点是黑色的，且当前节点是右子节点
            setBlack(parent);
            setRed(gparent);
            leftRotate(gparent);
        }
    }
    setBlack(root);//将根节点设置为黑色
}