一、引言
考虑这样一个实际例子，当我们按下计算器的正弦按钮时，会发生什么？我们都知道计算器有可以处理加法和乘法的硬件，但是，它是如何计算一个数的正弦值呢？多项式插值法就可以解决这样的问题。我们将在未来重新审视这个问题。目前，我们先来学什么是插值以及如何插值。
二、什么是插值
如下图所示，假定我们收集了一组数据点(x,y)(x,y)(x, y)，譬如(0,1),(2,2),(3,4)(0,1),(2,2),(3,4)(0, 1), (2, 2), (3, 4)。有一条经过这三点的抛物线，我们把这条抛物线称为经过这3点的二次插值多项式。
这样就引出了插值的数学定义，如下：
【插值的定义】 如果P(xi)=yi(1⩽i⩽n)P(xi)=yi(1⩽i⩽n)P(x_i) = y_i (1 leqslant i leqslant n)，那么函数y=P(x)y = P(x)插值了数据点
(x1,y1),⋅⋅⋅,(xn,yn)(x_1, y_1), cdot cdot cdot , (x_n, y_n)
简单来讲就是，如果一个函数通过了一组数据点，那么就称这个函数插值了这组数据点。
二、Lagrange插值
2.1 讨论
现在我们知道了什么是插值，请大家考虑一个问题，如果我只知道一组n个数据点(x1,y1),⋅⋅⋅,(xn,yn)(x_1, y_1), cdot cdot cdot , (x_n, y_n)，我们想要求出一个多项式，能够插值这一组所有的数据点。并且这个多项式的次数是d=n−1d = n - 1次的，该怎么做？
Lagrange插值公式给出了这个问题的解答方案。例如，假设给定点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)，那么其2次插值多项式可以由Lagrange插值多项式给出，如下：
P2(x)=y1(x−x2)(x−x3)(x1−x2)(x1−x3)+y2(x−x1)(x−x3)(x2−x1)(x2−x3)+y3(x−x1)(x−x2)(x3−x1)(x3−x2)P_2(x) = y_1 frac{(x - x_2)(x - x_3)}{(x_1 - x_2)(x_1 - x_3)} + y_2 frac{(x - x_1)(x - x_3)}{(x_2 - x_1)(x_2 - x_3)} + y_3 frac{(x - x_1)(x - x_2)}{(x_3 - x_1)(x_3 - x_2)}
那么有人可能会问，这样的多项式一定是正确的吗，答案是：是的。我们可以验证一下：
1. 当x=x1x = x1时，P2(x1)=y1P_2(x1) = y1;
2. 当x=x2x = x2时，P2(x2)=y2P_2(x2) = y2;
3. 当x=x3x = x3时，P2(x3)=y3P_2(x3) = y3;
我们只考虑这三个点，因为我们只有这三个点，在这3个点上，这个多项式都成功的插值了，因此，这个多项式一定是正确的。（注意这个多项式关于变量xx是2次的）
2.2 数学定义
一般地，假设给出nn个点(x1,y1),⋅⋅⋅,(xn,yn)(x_1, y_1), cdot cdot cdot , (x_n, y_n)，则对于1和n之间的每一个kk可定义
Lk(x)=(x−x1)⋅⋅⋅(x−xk−1)(x−xk+1)⋅⋅(x−xn)(xk−x1)⋅⋅⋅(xk−xk−1)(xk−xk+1)⋅⋅(xk−xn)L_k(x) = frac{(x - x_1) cdot cdot cdot (x - x_{k -1})(x - x_{k + 1}) cdot cdot (x - x_n)}{(x_k - x_1) cdot cdot cdot (x_k - x_{k -1})(x_k - x_{k + 1}) cdot cdot (x_k - x_n)}
LkL_k的一个有趣性质是：
1. Lk(xk)=1L_k(x_k) = 1
2. Lk(xj)=0(j≠k)L_k(x_j) = 0 qquad (j eq k)
因此，定义n−1n - 1次Lagrange多项式
Pn−1(x)=y1L1(x)+⋅⋅⋅+ynLn(x)P_{n - 1}(x) = y_1 L_1(x) + cdot cdot cdot + y_n L_n(x)
2.3 存在性和及唯一性
有人会问，对于给定的n个数据点，其插值多项式是唯一的吗？即只能是由一个多项式才能插值这n个点吗？答案是：不是。
大家想想就知道，对于二维平面的nn个坐标点，我们肯定能画出无穷条线来穿过这些点，每一条线都对应这一个多项式。那么这个问题的意义何在？
多项式是无穷的，但是，对于插值nn个数据点的多项式，其最高次数是小于等于n−1n - 1的，这样的多项式，只能是只有一个。用数学来描述这个问题如下：
【定理】
设(x1,y1),⋅⋅⋅,(xn,yn)(x_1, y_1), cdot cdot cdot, (x_n, y_n)是平面上xix_i互不相同的nn个点，那么存在一个而且仅存在一个次数小于等于n−1n - 1次的多项式，满足
P(xi)=yi,i=1,⋅⋅⋅,nP(x_i) = y_i, qquad i = 1, cdot cdot cdot, n
【证明】
(1) 存在性：存在性已由Lagrange插值的显式公式得出。
(2) 唯一性：假定有存在两个这样公式，譬如P(x)P(x)及Q(x)Q(x)，它们最多是n−1n - 1次，而且都插值所有nn个点，即有：
P(x1)=Q(x1)=y1,P(x2)=Q(x2)=y2,⋅⋅⋅,P(xn)=Q(xn)=ynP(x_1) = Q(x_1) = y_1, P(x_2) = Q(x_2) = y_2, cdot cdot cdot, P(x_n) = Q(x_n) = y_n。
则有H(x)=P(x)−Q(x)H(x) = P(x) - Q(x)，显然，HH的次数最多也是n−1n - 1，而且注意到
H(x1)=H(x2)=⋅⋅⋅=H(xn)H(x_1) = H(x_2) = cdot cdot cdot = H(x_n)
即HH有nn个不同的零点。按照代数学基本定理，一个dd次多项式，除了它恒等于零多项式，最多可能有dd个零点。因此有
H≡0H equiv 0
于是，
P(x)≡Q(x)P(x) equiv Q(x)
因此，存在唯一的次数小于等于n−1n - 1的多项式P(x)P(x)插值与nn个点(xi,yi)(x_i, y_i)。
2.4 范例
【题目】求插值于点(0,2),(1,1),(2,0),(3,−1)(0, 2), (1, 1), (2, 0), (3, -1)的次数小于等于3的多项式。
【解】Lagrange形式如下：
P(x)=2(x−1)(x−2)(x−3)(0−1)(0−2)(0−3)+1(x−0)(x−2)(x−3)(1−0)(1−2)(1−3)+0(x−0)(x−1)(x−3)(2−0)(2−1)(2−3)+(−1)(x−0)(x−1)(x−2)(3−0)(3−1)(3−2)=−x+2P(x) = 2 frac{(x - 1)(x - 2)(x - 3)}{(0 - 1)(0 - 2)(0 - 3)} + 1 frac{(x - 0)(x - 2)(x - 3)}{(1 - 0)(1 - 2)(1 - 3)} + 0 frac{(x - 0)(x - 1)(x - 3)}{(2 - 0)(2 - 1)(2 - 3)} + (-1) frac{(x - 0)(x - 1)(x - 2)}{(3 - 0)(3 - 1)(3 - 2)} = -x + 2
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作者：Qling的随笔
来源：CNBLOGS
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