数论

同余基本运算：https://www.luogu.com.cn/blog/shenhy1205/tong-yu-ru-men

欧拉： https://www.luogu.com.cn/blog/shenhy1205/ou-la

反演： https://www.luogu.com.cn/blog/shenhy1205/fan-yan-mo-shu

逆元： https://www.luogu.com.cn/blog/shenhy1205/ni-yuan-za-hui

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贝祖定理：

对于ax+by=c有解，满足c%gcd(a,b)=0

证明：

设e=gcd(a,b)

a%e=0,b%e=0

ax%e=0,by%e=0

ax+by%e=0

c%e=0

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中国剩余定理：求方程组的最小解。

方程组：

{

x≡a1 (mod b1)

x≡a2 (mod b2)

x≡a3 (mod b3)

x≡a4 (mod b4)

…………

x≡ak (mod bk)

}

bi之间两两互质
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解：

令M=∏（i,1,k）bi

ti为方程x≡M/bi(mod bi)的最非负小整数解

x=∑(i,1,k)ai * M/bi * ti

通解为x+j*M

最小整数解为 x=(x%M+M)%M

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证明：

∵M/bi * ti≡1 (mod bi)

∴ai * M/bi * ti ≡ ai (mod bi)

∵∑(i,1,k)ai * M/bi * ti ≡ ai * M/bi * ti (mod bi)

（除了这组数以外的其他数之和中必然包含bi，因为他们之间两两互质，所以除了这组以外其他组的bi都没被除掉，mod bi =0 只有这组留了下来）

∴x=∑(i,1,k)ai * M/bi * ti 是这方程的解

同理，也是其他方程的解

∴x为整组方程的一个解

代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
ll e;
void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
    if(!b) x=1,y=0,e=a;
    else exgcd(b,a%b,y,x),y-=a/b*x;
}
int n;
ll a[11],b[11],t[11],m=1,ans;
ll mul(ll x,ll y)
{
    ll s=0;
    while(y)
    {
        if(y&1) s=(s+x)%m;
        x=2*x%m;
        y>>=1;
    }
    return s%m;
}
void china()
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        ll y;
        exgcd(m/b[i],b[i],t[i],y);
        t[i]=(t[i]%b[i]+b[i])%b[i];
        ans=(ans+mul(mul(a[i],m/b[i]),t[i]))%m;
    }
}
int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",a+i);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",b+i),m*=b[i];
    china();
    printf("%lld
",ans);
    return 0;
}

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扩展欧几里得：

对于ax+by=c求解

首先考虑对于:

ax+by=gcd(a,b)

bx0+(a%b)y0=gcd(b,a%b)

bx0+(a-a/b*b)y0=gcd(b,a%b)

       ay0+b(x0-a/b*y0)=gcd(b,a%b)

联立ax+by                  =gcd(a,b)

x=y0,y=x0-a/b*y0

一直递归

直到gcd边界

于是，我们就得到了一组解

如果c%e！=0，那么根据贝祖定理，方程无解

将得到的x1=x*c/gcd(a,b),y1=y*c/gcd(a,b)就是ax+by=c的解

同时，我们发现当x每改变b/gcd(a,b)时，总有一个y能让等式成立（改变a/gcd(a,b)）

d=a/gcd(a,b),e=b/gcd(a,b)

有最小解：x2=(x1%d+d)%d,y2=(y1%d+d)%d

有通解：x2+ke,y+kd (k为整数)

代码：

void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
    if(!b) x=1,y=0,e=a;
    else exgcd(b,a%b,y,x),y-=a/b*x;
}