[HAOI2006]均分数据 模拟退火

模拟退火 系列

example 1 [HAOI2006]均分数据 

https://www.luogu.org/problem/P2503

【题意】

　　把n个数以分为m组，计算每一组的和，求得到的这m个数的方差。由于分法是任意的，我们要求这些方差中的最小值

【思路】

　　首先给定一个序列，计算当前状态的最小方差的方法是，按照顺序加入，每次将数加入和最小的一个集合，最后计算方差。

那么改变答案的方法就是改变序列的顺序。这里我用到的是交换其中的两个数，如果答案变小了就更新，否则有一定概率保留，一定概率换回去

【代码】

#include<cmath>
#include<ctime>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define pf(x) ((x)*(x))
using namespace std;
typedef double real;
const int N=30;
real avg,now,best,sum,a[N],num[N],no[N],be[N];
int n,m;
inline real deal(){
    real fz=0;
    memset(num,0,sizeof num);
    for(int i=1,p=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=m;j++){
            if(num[j]<num[p]) p=j;
        }
        num[p]+=no[i];
    }
    for(int i=1;i<=m;i++) fz+=pf(num[i]-avg);
    return sqrt(real(fz)/real(m));

}
int main(){
    srand(time(0));
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lf",a+i),no[i]=be[i]=a[i],sum+=a[i];
    avg=real(sum)/real(m);
    best=deal();
    for(int it=30;it--;){
        now=best;
        for(int i=1;i<=n;i++) no[i]=be[i];
        for(real T=1e5;T>=1e-14;T*=0.97){
            int x=rand()%n+1,y=rand()%n+1;
            for(;x==y;y=rand()%n+1);
            swap(no[x],no[y]);
            real tmp=deal(),E=tmp-now;
            if(tmp<best){
                best=tmp;
                for(int j=1;j<=n;j++) be[j]=no[j];
            }
            if(tmp<now||E/T<real(rand())/real(RAND_MAX))
                now=tmp;
            else 
                swap(no[x],no[y]);
        }
    }
    printf("%.2lf",best);
    return 0;
}

经典模拟退火

模拟退火的思想在于，如果一个移动会使答案变得更优，我们就接受这个移动；否则我们以一定的概率接受这个移动。

听起来很玄学。根据物理的那套理论，我们定义两个东西：
- 温度$(T)$。它随着时间推移而逐渐降低。
- 增量$(E)$。它描述一次移动获得的好处。从$x$移动到$x'$的增量定义为$f(x')-f(x)$，增量越大，往$x'$移动的优势越大。

在模拟退火中，如果增量大于$0$，则直接接受这次移动；否则按下面的概率接受移动：

$$P = exp(frac{E}{T})$$

听起来十分的玄学。然而它竟然可以得出精度比较好的解。伪代码如下：

T=100.0;               //初始温度

for(int i=0;i<100;i++)      //控制迭代次数
{
    tar=getPos();           //在x的周围选一个点
    E=f(tar)-f(x);

    if(E > eps) x=tar;      //直接移动
    else if(exp(E/T) > random(0,1)) x=tar;     //接受移动

    T=T*0.99;               //降温
}