小 R 和室友小 B 在寝室里玩游戏。他们一共玩了 $n$ 局游戏，每局游戏的结果要么是小 R 获胜，要么是小 B 获胜。
第 $1$ 局游戏小 R 获胜的概率是 $p_1$，小 B 获胜的概率是 $1-p_1$。除了第一局游戏之外，每一局游戏小 R 获胜的概率与上一局游戏小 R 是否获胜有关。
具体来说：
- 如果第 $i-1 (1< ile n)$ 局游戏小 R 获胜，那么第 $i$ 局游戏小 R 获胜的概率为 $p_i$，小 B 获胜的概率为 $1-p_i$。
- 如果第 $i-1 (1< ile n)$ 局游戏小 B 获胜，那么第 $i$ 局游戏小 R 获胜的概率为 $q_i$，小 B 获胜的概率为 $1-q_i$。
小 D 时常过来看小 R 和小 B 玩游戏，因此他知道某几局游戏的结果。他想知道在他已知信息的条件下，小 R 在 $n$ 局游戏中获胜总局数的期望是多少。
小 D 记性不太好，有时他会回忆起某局游戏的结果，并把它加入到已知信息中；有时他会忘记之前某局游戏结果，并把它从已知信息中删除。你的任务是：每当小 D 在已知信息中增加或删除一条信息时，根据小 D 记得的已知信息，帮助小 D 计算小 R 在 $n$ 局游戏中获胜总局数的期望是多少。
需要注意的是：如果小 D 忘了一局游戏的结果，之后又重新记起，两次记忆中的游戏结果不一定是相同的。你不需要关心小 D 的记忆是否与实际情况相符，你只需要根据他的记忆计算相应的答案。
输入格式
第一行两个正整数 $n,m$ 和一个字符串 $type$。表示小 R 和小 B 一共玩了 $n$ 局游戏，小 D 一共进行了 $m$ 次修改已知信息的操作，该数据的类型为 $type$。$type$ 字符串是为了能让大家更方便地获得部分分，你可能不需要用到这个输入，其具体含义见限制与约定。
接下来 $n$ 行，第 $1$ 行包含一个实数 $p_1$，表示第一局比赛小R获胜的概率是 $p_1$。第 $i (1< i le n)$ 行包含两个实数 $p_i,q_i$。表示在第 $i-1$ 局游戏小 R 获胜的情况下，第 $i$ 局游戏小 R 获胜的概率是 $p_i$；$q_i$ 表示在第 $i-1$ 局游戏小 B 获胜的情况下，第 $i$ 局游戏小 R 获胜的概率是 $q_i$。
接下来 $m$ 行，每行描述一个小 D 已知信息的变化，操作分为两类。
add i c表示小 D 回忆起了第 $i$ 局比赛的结果，并把它加入到已知信息中。若 $c=0$ 表示第 $i$ 局比赛小 B 获胜，若 $c=1$ 表示第 $i$ 局比赛小 R 获胜。数据保证 $i,c$ 均为整数且 $1le i le n,0le c le 1$，如果这个操作不是第一个操作，保证在上一个操作结束后的已知信息中没有第 $i$ 局比赛的结果。del i表示小 D 忘记了第 $i$ 局比赛的结果，并把它从已知信息中删除。数据保证 $i$ 是整数且 $1le i le n$，保证在上一个操作结束后的已知信息中有第 $i$ 局比赛的结果。
输出格式
对于每个操作，输出一行实数，表示操作结束后，在当前已知信息的条件下，小R在 $n$ 局游戏中总共获胜的局数的期望是多少。
样例一
input
3 3 A 0.3 0.5 0.2 0.9 0.8 add 1 1 add 3 0 del 1
output
2.350000 1.333333 0.432749
explanation
运用贝叶斯公式
第一问
$$p(x_2=1|x_1=1)=0.5,p(x_3=1|x_1=1)=0.5*0.9+0.5*0.8=0.85,E(x_1+x_2+x_3|x_1=1)=0.5+0.85+1=2.35$$
第二问
$$p(x_2=1|x_1=1,x_3=0)=frac{p(x_3=0|x_1=1,x_2=1)p(x_2=1|x_3=0)}{p(x_3=0|x_1=1)} approx 0.333,E(x_1+x_2+x_3|x_1=1,x_3=0) approx 1.333$$
第三问
$$p(x_2=1|x_3=0)=frac{p(x_3=0|x_2=1)p(x_2=1)}{p(x_3=0)}$$
其中
$$p(x_3=0|x_2=1)=0.1,p(x_2=1)=0.3*0.5+0.7*0.2=0.29,p(x_3=0)=0.29*0.1+0.71*0.2=0.171$$
所以
$$p(x_2=1|x_3=0)=0.1*0.29/0.171 approx 0.16959$$
$$p(x_1=1|x_3=0)=frac{p(x_3=0|x_1=1)p(x_1=1)}{p(x_3=0)}$$
其中
$$p(x_3=0|x_1=1)=0.5*0.1+0.5*0.2=0.15,p(x_1=1)=0.3,p(x_3=0)=0.171$$
所以
$$p(x_1=1|x_3=0)=0.15*0.3/0.171 approx 0.26316$$
$$E(x_1+x_2+x_3|x_3=0) approx 0.43275$$
样例二
见样例数据下载。
样例三
见样例数据下载。
评分标准
如果你的答案与正确答案的绝对误差在 $10^{-4}$ 以内，则被判定为正确。
如果你的所有答案均为正确，则得满分，否则得 0 分。
请注意输出格式：每行输出一个答案，答案只能为一个实数。每行的长度不得超过 50。错误输出格式会被判定为 0 分。
限制与约定
对于100%的数据，$1le nle 200000, 1le m le 200000,0 < p_i,q_i < 1$。
对于100%的数据，输入保留最多四位小数。
本题共有20个数据点，每个数据点5分,每个测试点的具体约定如下表：
| 测试点 | $n$ | $m$ | 数据类型 |
|---|---|---|---|
| 1-2 | $le 10$ | $le 20$ | A |
| 3-4 | $le 100$ | $le 100$ | B |
| 5-6 | $le 1000$ | $le 5000$ | A |
| 7-9 | $le 2000$ | $le 5000$ | B |
| 10-13 | $le 10000$ | $le 200000$ | B |
| 14-15 | $le 200000$ | $le 200000$ | C |
| 16-17 | D | ||
| 18-20 | A |
数据类型的含义：
A：无限制
B：$forall i > 1,|p_i-q_i| > 0.999$
C：同一时刻，小 D 最多只有 1 条已知信息
D：同一时刻，小 D 最多只有 5 条已知信息
时间限制：$1 exttt{s}$
空间限制：$512 exttt{MB}$
小R教你学数学
你可能会用到以下公式
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条件概率的计算方法
我们记 $p(A|B)$ 表示在已知事件 $B$ 发生时事件 $A$ 发生的概率，条件概率可以用以下公式计算：
$$p(A|B)=frac{p(AB)}{p(B)}$$
其中$p(AB)$表示事件 $B$ 和事件 $A$ 同时发生的概率，$p(B)$ 表示事件 $B$ 发生的概率。
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贝叶斯公式(Bayes)
由条件概率的计算方法，我们容易得到贝叶斯公式
$$p(A|B)=frac{p(B|A)p(A)}{p(B)}$$
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全概率公式
如果随机变量 $x$ 有 $k$ 个取值，分别为 $x_1,x_2,ldots,x_k$ 那么
$$p(A)=sum_{i=1}^k p(A|x=x_i)p(x=x_i)$$
温馨提示
在本题中，如果你希望获得全部的分数，你可能需要考虑由于浮点数运算引入的误差。只使用加法和乘法运算不会引入太大的误差，但请谨慎使用减法和除法。
- 两个大小相近的数相减可以引入非常大的相对误差。
- 如果一个矩阵的行列式值非常小，那么求解该矩阵的逆可以带来相当大的误差。
当然，如果你的算法在数学上是正确的，但没有考虑浮点数运算的误差问题，可能仍然可以获得一部分的分数。
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【题解】
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贝叶斯证明;
[ egin{align} &bayes公式:\ P(A|B)P(B) &= P(A cap B) Leftrightarrow P(A|B) = frac{P(B|A)P(A)}{P(B)} \ &P(x_i=1|x_l=a,x_r=b)(1lt i le r)\ &=frac{P(x_i=1,x_l=a,x_r=b)}{P(x_l=a,x_r=b)}\ &=frac{P(x_i=1,x_l=a,x_r=b)}{P(x_l=a)P(x_r=b|x_l=a)}\ &=frac{P(x_i=1,x_r=b|x_l=a)}{P(x_r=b|x_l=a)}\ end{align} ]
【代码】
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#include<map> #include<cstdio> #include<cstring> #include<iostream> #define fi first using std::map; const int N=2e5+5; int n,m;double ans,p[N],q[N];char opt[10]; map<int,int>S; map<int,int>::iterator it,nxt,pre; struct Matrix{ double s[2][2]; Matrix(){memset(s,0,sizeof s);} Matrix operator +(const Matrix &a)const{ Matrix c; for(int i=0;i<2;i++){ for(int j=0;j<2;j++){ c.s[i][j]=s[i][j]+a.s[i][j]; } } return c; } Matrix operator *(const Matrix &a)const{ Matrix c; for(int i=0;i<2;i++){ for(int j=0;j<2;j++){ for(int k=0;k<2;k++){ c.s[i][j]+=s[i][k]*a.s[k][j]; } } } return c; } }; struct data{Matrix mul,sum;}tr[N<<2]; data operator +(const data &a,const data &b){ data c; c.mul=a.mul*b.mul; c.sum=a.mul*b.sum+a.sum*b.mul; return c; } #define lch k<<1 #define rch k<<1|1 void build(int k,int l,int r){ if(l==r){ tr[k].mul.s[0][0]=1-q[l]; tr[k].mul.s[0][1]=q[l]; tr[k].mul.s[1][0]=1-p[l]; tr[k].mul.s[1][1]=p[l]; tr[k].sum.s[0][1]=q[l]; tr[k].sum.s[1][1]=p[l]; return ; } int mid=l+r>>1; build(lch,l,mid); build(rch,mid+1,r); tr[k]=tr[lch]+tr[rch]; } data query(int k,int l,int r,int x,int y){ if(l==x&&r==y) return tr[k]; int mid=l+r>>1; if(y<=mid) return query(lch,l,mid,x,y); else if(x>mid) return query(rch,mid+1,r,x,y); else return query(lch,l,mid,x,mid)+query(rch,mid+1,r,mid+1,y); } double ask(int l,int r){ data tmp=query(1,0,n+1,l+1,r); return tmp.sum.s[S[l]][S[r]]/tmp.mul.s[S[l]][S[r]]; } int main(){ scanf("%d%d%*s%lf",&n,&m,&p[1]); for(int i=2;i<=n;i++) scanf("%lf%lf",p+i,q+i); p[0]=q[0]=1;S[0]=1;S[n+1]=0; build(1,0,n+1); ans=ask(0,n+1); for(int i=m,x,y;i;i--){ scanf("%s%d",opt,&x); if(opt[0]=='a'){ scanf("%d",&y);S[x]=y; it=S.lower_bound(x); nxt=pre=it;pre--,nxt++; ans+=ask(pre->fi,it->fi); ans+=ask(it->fi,nxt->fi); ans-=ask(pre->fi,nxt->fi); } else{ it=S.lower_bound(x); nxt=pre=it;pre--,nxt++; ans-=ask(pre->fi,it->fi); ans-=ask(it->fi,nxt->fi); ans+=ask(pre->fi,nxt->fi); S.erase(it); } printf("%.10lf ",ans); } return 0; }