1183 泥泞的道路

1183 泥泞的道路

 

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 题目等级 : 钻石 Diamond

题解

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题目描述 Description

CS有n个小区，并且任意小区之间都有两条单向道路（a到b，b到a）相连。因为最近下了很多暴雨，很多道路都被淹了，不同的道路泥泞程度不同。小A经过对近期天气和地形的科学分析，绘出了每条道路能顺利通过的时间以及这条路的长度。

现在小A在小区1，他希望能够很顺利地到达目的地小区n，请帮助小明找出一条从小区1出发到达小区n的所有路线中（总路程/总时间）最大的路线。请你告诉他这个值。

输入描述 Input Description

第一行包含一个整数n，为小区数。

接下来n*n的矩阵P，其中第i行第j个数表示从小区i到小区j的道路长度为Pi,j。第i行第i个数的元素为0，其余保证为正整数。

接下来n*n的矩阵T，第i行第j个数表示从小区i到小区j需要的时间Ti,j。第i行第i个数的元素为0，其余保证为正整数。

输出描述 Output Description

写入一个实数S，为小区1到达n的最大答案，S精确到小数点后3位。

样例输入 Sample Input

3

0 8 7 

9 0 10 

5 7 0 

0 7 6 

6 0 6 

6 2 0

样例输出 Sample Output

2.125

数据范围及提示 Data Size & Hint

【数据说明】

30%的数据，n<=20

100%的数据，n<=100，p,t<=10000

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二分法 最短路 图论

• 题目大意：给定一张图，每条边上都有一个长度和时间，求从1到n经过的路径中∑length/∑time的最大值。

• 思路：二分答案+SPFA。假如有一解∑length/∑time≥ans  更优,其中ans为已经得到的一个解，则有∑length−ans∗∑time≥0  ，即∑（length i −ans∗time i ）≥0  ，这样就转换为了，如果一个答案更优，那么对于各个边权为length i −ans∗time i   的图，其到达点n最长路不小于0。当该值从正实数方向逼近0时，答案会越来越优。这时只需二分答案检验其合理性就可以了。需要说明的一点是，如果新建图中存在正环，那么这个情况是可行的，因为这样可以无限在环上跑以使到n的权值不小于0。

• 二分起始边界l=0，r = INF
  二分的是答案，每次二分到得答案，如果通过spfa能得到一个正环，或者可以得到一个dist[n]>0的答案，就说明这个答案符合条件，左边界扩展，即l = mid,反之，说明这个答案不符合，r = mid.

代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<queue>
using namespace std;
#define N 105
queue<int>que;
int p[N][N],t[N][N],vis[N],id[N];
double f[N][N],dis[N],mid;
int n;
int spfa(){
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            f[i][j]=(double)p[i][j]-(double)t[i][j]*mid;
    memset(dis,-0x3f,sizeof(dis));
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    memset(id,0,sizeof(id));
    while(!que.empty()) que.pop();
    que.push(1);
    id[1]++;
    vis[1]=1;
    dis[1]=0.0;
    while(!que.empty()){
        int h=que.front();
        que.pop();
        vis[h]=0;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            if(i==h) continue;
            if(dis[i]<dis[h]+f[h][i]){
               dis[i]=dis[h]+f[h][i];
                if(!vis[i]){
                    vis[i]=1;
                    id[i]++;
                    if(id[i]>n) return 1;
                    que.push(i);
                }    
            }
        }    
    }
    return dis[n]>=0?1:0;
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            scanf("%d",&p[i][j]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            scanf("%d",&t[i][j]);
    double l(0.0),r(10000.0),eps(0.0001);
    while(r-l>eps){
        mid=(l+r)/2.0;
        if(spfa())
            l=mid;
        else
            r=mid;
    }
    printf("%.3lf",mid);
    return 0;
}