2498 IncDec Sequence

2498 IncDec Sequence

 

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 题目等级 : 钻石 Diamond

题解

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题目描述 Description

　　给定一个长度为n的数列{a1,a2...an}，每次可以选择一个区间[l,r]，使这个区间内的数都加一或者都减一。
　　问至少需要多少次操作才能使数列中的所有数都一样,并求出在保证最少次数的前提下,最终得到的数列有多少种。

输入描述 Input Description

　　第一行一个正整数n 
　　接下来n行,每行一个整数,第i+1行的整数表示ai。

输出描述 Output Description

　　第一行输出最少操作次数
　　第二行输出最终能得到多少种结果

样例输入 Sample Input

4
1
1
2
2

样例输出 Sample Output

1
2

数据范围及提示 Data Size & Hint

　　对于100%的数据，n=100000，0<=ai<2147483648。

来源：Nescafe 22

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递推 数论

题解：

对于带有“将一段区间内的每个数全部加上某个值”这种操作的题目，通常考虑差分原数列以简化情况，将对一段区间的操作转化为对某两个特定数的操作。

我们定义d_1 = a_1, d_i = a_i - a_{i-1} ( 2 ≤ i ≤ n ), d_{n+1} = 0（事实上，稍后我们会看到d_1和d_{n+1}的值并不重要），，可以发现，原题中的“将[l,r]内的数都加一或都减一”将对应“将d_l + 1，将d_{r+1} - 1”（或反之）的操作。

显然，题目中要求的a数列中的所有数全部相等的条件等同于使d_i = 0 ( 2 ≤ i ≤ n )，最后数列中的数即为d_1，而题目中的操作允许我们把d数列中的某个数+1，某个数-1。要将d数列中第二项至第n项全部变为0并使操作次数最少，首先我们将每个负数和每个正数配对执行操作，设d数列中第2至第n项所有正数分别求和得到的值为p，负数分别求和得到的值的*绝对值*为q，这一步的操作次数即为min{p,q}。此时还剩余和的绝对值为abs(p-q)的数没有变为0，每次操作我们可以将其与d_1或d_{n+1}配对进行操作，操作次数为abs(p-q)，容易看出，最终d_1的可能取值有abs(p-q)+1种。因此，第一问的答案即为max{p,q}，第二问的答案即为abs(p-q)+1。

tl;dr 差分原数列，正数分别求和负数分别求和，取绝对值较大的输出到第一行。输出abs(a[n]-a[1])+1到第二行。 ”

（from http://codevs.cn/wiki/solution/?problem_id=2498）

AC代码：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=1e5+10;
int n;ll x,y,a[N];
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&a[i]); 
    for(int i=2;i<=n;i++) a[i]>a[i-1]?x+=a[i]-a[i-1]:y+=a[i-1]-a[i];
    printf("%lld
%lld",max(x,y),max(x-y,y-x)+1);
    return 0;
}