Query on a tree——树链剖分整理

树链剖分整理

树链剖分就是把树拆成一系列链，然后用数据结构对链进行维护。

通常的剖分方法是轻重链剖分，所谓轻重链就是对于节点u的所有子结点v，size[v]最大的v与u的边是重边，其它边是轻边，其中size[v]是以v为根的子树的节点个数，全部由重边组成的路径是重路径，根据论文上的证明，任意一点到根的路径上存在不超过logn条轻边和logn条重路径。

这样我们考虑用数据结构来维护重路径上的查询，轻边直接查询。

通常用来维护的数据结构是线段树，splay较少见。

 

具体步骤

预处理

第一遍dfs

    求出树每个结点的深度dep[x]，其为根的子树大小siz[x]

，其重儿子，以及祖先的信息fa[x]表示x的直接父亲，

第二遍dfs

根节点为起点，向下拓展构建重链

选择最大的一个子树的根继承当前重链

其余节点，都以该节点为起点向下重新拉一条重链

搞出top[x]，top[x]表示x所在链的端点

给每个结点分配一个位置编号，每条重链就相当于一段区间，用数据结构去维护。

搞出pos[x],pos[x]表示在线段树中以x为下端点的标号（一般不维护边）

把所有的重链首尾相接，放到同一个数据结构上，然后维护这一个整体即可

修改操作

1、单独修改一个点的权值    //例题中没用

根据其编号直接在数据结构中修改就行了。

2、修改点u和点v的路径上的权值

（1）若u和v在同一条重链上

直接用数据结构修改pos[u]至pos[v]间的值。

（2）若u和v不在同一条重链上

一边进行修改，一边将u和v往同一条重链上靠，然后就变成了情况（1）。

查询操作

    查询操作的分析过程同修改操作

题目不同，选用不同的数据结构来维护值，通常有线段树和splay

　　

例题、SPOJ 305：Query on a tree
题意：10000个点的树，有边权（<=1000000），支持两个操作：
1、CHANGE i ti 把第i条变的权改为ti
2、QUERY a b 查询a,b两点间路径上的最大边
20组数据

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#define lc k<<1
#define rc k<<1|1
#define IN inline
#define R register
using namespace std;
const int N=1e4+10;
IN int read(){
    R int x=0;R bool f=1;
    R char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=0;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';ch=getchar();}
    return f?x:-x;
}
struct node{
    int u,v,w,next;
}e[N<<1];
int n,T,tot,num,head[N],fa[N],top[N],pos[N],dep[N],siz[N],son[N];
int a[N<<2];
void add(int x,int y,int z){
    e[++tot].u=x;
    e[tot].v=y;
    e[tot].w=z;
    e[tot].next=head[x];
    head[x]=tot;
}
void dfs(int u,int f,int de){
    fa[u]=f;dep[u]=de;siz[u]=1;
    for(int i=head[u],v;i;i=e[i].next){
        v=e[i].v;
        if(v!=f){
            dfs(v,u,de+1);
            siz[u]+=siz[v];
            if(!son[u]||siz[son[u]]<siz[v]){
                son[u]=v;
            }
        }
    }
}
void getpos(int u,int tp){
    top[u]=tp;
    pos[u]=++num;
    if(!son[u]) return ;
    getpos(son[u],tp);
    for(int i=head[u],v;i;i=e[i].next){
        v=e[i].v;
        if(v!=son[u]&&v!=fa[u]){
            getpos(v,v);
        }
    }
}
void change(int k,int l,int r,int pos,int val){
    if(l==r){
        a[k]=val;
        return;
    }
    int mid=l+r>>1;
    if(pos<=mid) change(lc,l,mid,pos,val);
    else change(rc,mid+1,r,pos,val);
    a[k]=max(a[lc],a[rc]);
}
int query(int k,int l,int r,int x,int y){
    if(l==x&&y==r) return a[k];
    int mid=l+r>>1;
    if(y<=mid) return query(lc,l,mid,x,y);
    else if(x>mid) return query(rc,mid+1,r,x,y);
    else return max(query(lc,l,mid,x,mid),query(rc,mid+1,r,mid+1,y));
}
int find(int u,int v){
    int tp1=top[u],tp2=top[v],ans=0;
    while(tp1!=tp2){
        if(dep[tp1]<dep[tp2]){
            swap(tp1,tp2);
            swap(u,v);
        }
        ans=max(ans,query(1,1,num,pos[tp1],pos[u]));
        u=fa[tp1];tp1=top[u];
    }
    if(u==v) return ans;
    if(dep[u]>dep[v]) swap(u,v);
    return max(ans,query(1,1,num,pos[u]+1,pos[v]));
}
void Cl(){
    tot=0;num=0;
    memset(a,0,sizeof a);
    memset(fa,0,sizeof fa);
    memset(head,0,sizeof head);
    memset(pos,0,sizeof pos);
    memset(top,0,sizeof top);
    memset(son,0,sizeof son);
    memset(dep,0,sizeof dep);
}
int main(){
    for(T=read();T--;){
        Cl();
        n=read();
        for(int i=1,x,y,z;i<n;i++){
            x=read();y=read();z=read();
            add(x,y,z);add(y,x,z);
        }
        dfs(1,0,1);
        getpos(1,1);
        for(int i=1,t=(n-1)*2;i<t;i+=2){
            if(dep[e[i].v]<dep[e[i].u]) swap(e[i].u,e[i].v);
            change(1,1,num,pos[e[i].v],e[i].w);
        }
        char ch[20];
        for(int x,y;;){
            scanf("%s",ch);
            if(ch[0]=='D') break;
            if(ch[0]=='C'){
                x=read();y=read();
                change(1,1,num,pos[e[x*2-1].v],y);
            }
            else{
                x=read();y=read();
                printf("%d
",find(x,y));
            }
        }
    }
    return 0;
}