数论随记(一)

1. 秦九昭算法：<多项式>

||

/

求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值。

HDU 1111

处理 :减ai后,除B,直到0为止

复数的模 |Z|=|a+bi|=sqrt(a*a+b*b) , 除法 (a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c*c+d*d)+(bc-ad)/(c*c+d*d) (分子分母同乘(c-di))

2. 差分 <多项式>

前向差分

函数的前向差分通常简称为函数的差分。对于函数，如果在等距节点：

则称，函数在每个小区间上的增量为一阶差分。

在微积分学中的有限差分（finite differences），前向差分通常是微分在离散的函数中的等效运算。差分方程的解法也与微分方程的解法相似。当是多项式时，前向差分为Delta算子（称为差分算子[2]），一种线性算子。前向差分会将多项式阶数降低 1。

逆向差分

对于函数，如果：

则称为的一阶逆向差分。

一阶差分的差分为二阶差分，二阶差分的差分为三阶差分，其余类推。记：

为的阶差分。] -------[From Wikipedia]

HDU1121

处理：计算xi相邻两项差 得序列x2i,计算x2i相邻两项差 得序列x3i，重复以上过程，直到xni的各项值相等。再回算。

3. 抽屉原理

任何一个自然数都可分解质因数。N！=1*2*3*4*5*6*...*N=2^a*3^b*5^c*7^d......=（2*5）^c*2^(a-c)*3^b*7^d......=10^c*2^(a- c)*3^b*7^d....

在分解质因数时小的质数的幂次一定不小于大的质数的幂次大，所以a>=c。求 N! (1*2*3*4*5*...*N)里有多少个5其实可以转化成：
N!中：是5的倍数的数+是5^2的倍数的数+5^3.....
如50!：
含有10个5的倍数的数：5,15,20,25,30,35,40,45,50 【50/5=10】
含有2个5^2的倍数的数：25,50【50/(5^2)=2】
可见N!中一共有12个5相乘，那么尾0也必有12个

HDU1124

4. i^2%m

n:1~ 循环结m (5: 1 4 4 1 0 6: 1 4 3 4 1 0 7: 1 4 2 2 4 1 0 21: 1 4 9 16 4 15 7 1 18 16 16 18 1 7 15 4 16 9 4 1 0)

对称：m/2

推广：i^x%m 循环结都是m,若x为偶数,关于m/2对称

HDU1153

处理： 如果 a[1%n] != a[2%n]，那么 a[2%n] != a[4%n]，那么 a[1%n] == a[4%n]；

如果 a[1%n] == a[2%n]，那么 a[2%n] == a[4%n]，那么 a[1%n] == a[4%n]。

所以 a[1%n] == a[4%n]

同样的方法得到：

a[1%n] == a[9%n],

a[1%n] == a[16%n],

所有下标是 i 平方 mod n 都相等，下标不是 i 平方 mod n 都相等。

5. 扩展欧几里得 <二元一次方程>

例:a=60, b=22;

int x=1,y=0,xx=0,yy=1;                     
int gcd(int a,int b)                        
{                           
    if(b==0)                               
        return a;                           
    int tx,ty;                            
    tx=x,ty=y;                             
    x=xx,y=yy;                           
    xx=tx-(a/b)*xx,yy=ty-(a/b)*yy;                  
    gcd(b,a%b);                           
}                                  
                               


//改良版：ax+by=bx’+(a-a/b)y’
int gcd(int a,int b)
{
    int t,d;
    if(b==0)
    {    
         x=1,y=0;
         return a;    
    }
     d=gcd(b,a%b);
     t=x, x=y, y=t-(a/b)*y;
     return d;
 }

----

《数论概论》

推论：线性丢番图方程（二元一次方程）ax+by=c有解 gcd(a,b)|c 否则无解；

解为：x=x0+(b/d)*k , y=y0-(a/d)*k (d=gcd(a,b))

6. 逆元

a*x1(mod m)

1. 扩展欧几里得解法：

前提：gcd(a,m)=1;

处理：a*x1(mod m) a*x+m*y=1; 扩展欧几里得解得x0;

x=x0+k*m/gcd(a,m) 逆元结果：x=x0>0?(x0%m):(x0%m+m);

HDU1211

2. 费马小定理解法：

前提：gcd(a,m)=1; m为素数；

处理：

逆元结果。

7. 素因子分解系列

n = p1 ^ e1 * p2 ^ e2 *..........*pn ^ en

分解时，素数判断只需到

大素数判断和素因子分解（miller-rabin，Pollard_rho算法）

1. 素因子个数

sum ( n)= ( 1 + e1 ) * ( 1 +e2 ) * ...* ( 1 +en );

sum (n * n) = (1+2*e1)*(1+2*e2)*...*(1+2*en)  ；

HDU1299

2. 因子和

Sum=(p1^0+p1^1….p1^e1)*(p2^0+p2^1…p2^e2)……(pn^0+…pn^en);

=

因子和 s是积性函数,即 ：gcd(a,b)=1==> s(a*b)= s(a)*s(b)

HDU1452 /**/

3.欧拉函数 (小于等于n的，与n互质的数的个数)

(mn)= (n)* (m)只在gcd(n,m)=1时成立(积性)

HDU1787

8. 素数筛选

bool prime[N];

void is_prime()

{

memset(prime,0,sizeof(prime));

for(int i=2;i<N;i++)

{

if(!prime[i])

{

for(int j=i+i;j<N;j+=i)

prime[j]=1;

}

}

}

HDU1333