『题解』洛谷P1063 能量项链

[原文地址](https://xiaohuang888.github.io/2019/02/25/『题解』洛谷P1063 能量项链)

Problem Portal

Portal1：Luogu

Portal2：LibreOJ

Portal3：Vijos

Description

在(Mars)星球上，每个(Mars)人都随身佩带着一串能量项链。在项链上有NN颗能量珠。能量珠是一颗有头标记与尾标记的珠子，这些标记对应着某个正整数。并且，对于相邻的两颗珠子，前一颗珠子的尾标记一定等于后一颗珠子的头标记。因为只有这样，通过吸盘（吸盘是(Mars)人吸收能量的一种器官）的作用，这两颗珠子才能聚合成一颗珠子，同时释放出可以被吸盘吸收的能量。如果前一颗能量珠的头标记为(m)，尾标记为(r)，后一颗能量珠的头标记为(r)，尾标记为(n)，则聚合后释放的能量为(m imes r imes n)（(Mars)单位），新产生的珠子的头标记为(m)，尾标记为(n)。
需要时，(Mars)人就用吸盘夹住相邻的两颗珠子，通过聚合得到能量，直到项链上只剩下一颗珠子为止。显然，不同的聚合顺序得到的总能量是不同的，请你设计一个聚合顺序，使一串项链释放出的总能量最大。
例如：设(N=4)，(4)颗珠子的头标记与尾标记依次为((2,3) (3,5) (5,10) (10,2))。我们用记号⊕表示两颗珠子的聚合操作，((j)⊕(k))表示第(j,k)两颗珠子聚合后所释放的能量。则第(4)、(1)两颗珠子聚合后释放的能量为：
((4)⊕(1)=10 imes 2 imes 3=60)。
这一串项链可以得到最优值的一个聚合顺序所释放的总能量为：
(((4)⊕(1))⊕(2))⊕(3)=10 imes 2 imes 3+10 imes 3 imes 5+10 imes 5 imes 10=710)。

Input

第一行是一个正整数(n(4 leq n leq 100))，表示项链上珠子的个数。第二行是(n)个用空格隔开的正整数，所有的数均不超过(1000)。第(i)个数为第(i)颗珠子的头标记((1 leq i leq n))，当(i<n)时，第(i)颗珠子的尾标记应该等于第(i+1)颗珠子的头标记。第(n)颗珠子的尾标记应该等于第(1)颗珠子的头标记。

至于珠子的顺序，你可以这样确定：将项链放到桌面上，不要出现交叉，随意指定第一颗珠子，然后按顺时针方向确定其他珠子的顺序。

Output

一个正整数(E(E leq 2.1×10^{9}))，为一个最优聚合顺序所释放的总能量。

Sample Input

4
2 3 5 10

Sample Output

710

Solution

( ext{dp[i][j]}​)表示以( ext{a[i]}​)开头( ext{a[j]}​)结尾的能量的最大值，可以推出动态转移方程：(dp[i][j]=max(f[i][j], dp[i][k]+dp[k][j]+a[i] imes a[k] imes a[j]))。

Source

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>

using namespace std;

const int INF=0x7f7f7f7f, MAXN=205;
int n, a[MAXN], dp[MAXN][MAXN];
int main() {
    scanf("%d",&n);
    for (int i=1; i<=n; i++) {
        scanf("%d",&a[i]);
        a[n+i]=a[i];//复制成环
    }
    memset(dp, 0, sizeof(dp));
    for (int len=2; len<=n; len++) {
        for (int i=1; i+len-1<=(n<<1); i++) {
            int j=i+len-1;
            for (int k=i; k<j; k++)//枚举k
                dp[i][j]=max(dp[i][j], dp[i][k]+dp[k+1][j]+a[i]*a[k+1]*a[j+1]);//动态转移方程
        }
    }
    int Max=-INF;
    for (int i=1; i<=n; i++)
        if (dp[i][i+n-1]>Max) Max=dp[i][i+n-1];//寻找最大的能量值
    printf("%d
",Max);
    return 0;
}