内容
( m Menelaus)定理
已知三角形( riangle ABC)被一直线所截，交三条边或三条边的延长线与点(X, Y, Z)点，则有
[frac{AX}{XB} cdot frac{BZ}{ZC} cdot frac{CY}{YA}=1
]
（注：上图为一种情况，还有一种为“直线不经过三角形的任何一边，即与三角形的交点数为(0)”）
证明：
过点(C)作(CP // DF)交(AB)于(P)，则
[frac{BZ}{ZC}=frac{BX}{XP} ag{1}
]
[frac{CY}{YA}=frac{PX}{XA} ag{2}
]
[(1) imes (2)
m{得：} frac{BZ}{ZC}cdot frac{CY}{YA}=frac{BX}{XP}cdot frac{PX}{XA}
]
[frac{AX}{XB}cdotfrac{BZ}{ZC}cdotfrac{CY}{YA}=1
]
( m Menelaus)逆定理
若有三点(X)、(Y)、(Z)分别在边三角形的三边(AB)、(BC)、(CA)或边的延长线上，并且满足(frac{AX}{XB} cdot frac{BZ}{ZC} cdot frac{CY}{YA}=1)，那么(X)、(Y)、(Z)三点共线。
（前提：三个点有偶数个点在三角形边上。）
证明：
假设(X)、(Y)、(Z)三点不共线，直线(ZY)与(AB)交于点(P)。
根据( m Menelaus)定理，
[frac{AP}{PB}cdotfrac{BZ}{ZC}cdotfrac{CY}{YA}=1
]
[
m{已知}frac{AX}{XB}cdotfrac{BZ}{ZC}cdotfrac{CY}{YA}=1
]
[ herefore frac{AP}{PB}=frac{AX}{XB}
]
[ herefore P
m{与} X
m{重合，即}X
m{、}Y
m{、}Z
m{三点共线}
]
( m Ceva)定理
在三角形( riangle ABC)任取一点(O)，延长(AO)、(BO)、(CO)分别交对边于(x)、(y)、(z)，则有
[frac{AX}{XB} cdot frac{BZ}{ZC} cdot frac{CY}{YA}=1
]
证明：
( herefore riangle ADC)被直线(BE)所截，
根据( m Menelaus)定理，
[ herefore frac{CB}{BZ}cdotfrac{ZO}{OA}cdotfrac{AY}{YC}=1 ag{1}
]
( herefore riangle ABD)被直线(CX)所截，
[ herefore frac{BC}{CZ}cdotfrac{ZO}{OA}cdotfrac{AX}{XB}=1 ag{2}
]
[frac{(2)}{(1)}
m{得：}frac{AX}{XB} cdot frac{BZ}{ZC} cdot frac{CY}{YA}=1
]
( m Ceva)逆定理
若有三点(X)、(Y)、(Z)分别在边三角形的三边(AB)、(BC)、(CA)或边的延长线上，并且满足(frac{AX}{XB} cdot frac{BZ}{ZC} cdot frac{CY}{YA}=1)，那么(CX)、(BY)、(AZ)三线共点。
证明：
延长(CO)交(AB)于点(P)，则有
[frac{AP}{PB} cdot frac{BZ}{ZC} cdot frac{CY}{YA}=1
]
[
m{已知}frac{AX}{XB} cdot frac{BZ}{ZC} cdot frac{CY}{YA}=1
]
[ herefore frac{AP}{PB}=frac{AX}{XB}
]
[ herefore P
m{与} X
m{重合，即}CX
m{、}BY
m{、}AZ
m{三线共点}
]