快速幂取模

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在Miller Rabbin测试素数，就用到了快速幂取模的思想。这里总结下。
求a^b%c（这就是著名的RSA公钥的加密方法），当a,b很大时，直接求解这个问题不太可能

 

算法1：利用公式a*b%c=((a%c)*b)%c,这样每一步都进行这种处理，这就解决了a^b可能太大存不下的问题，但这个算法的时间复杂度依然没有得到优化 代码如下：

01.int modexp_simple(int a,int b,int n)       
02.{      
03.    int ret = 1;  
04.    while (b--)  
05.    {  
06.        ret = a * ret % n;  
07.    }  
08.    return ret;  
09.}    

算法2：另一种算法利用了二分的思想，可以达到O(logn)。
可以把b按二进制展开为：b = p(n)*2^n  +  p(n-1)*2^(n-1)  +…+   p(1)*2  +  p(0)
其中p(i) (0<=i<=n)为 0 或 1

这样 a^b =  a^ (p(n)*2^n  +  p(n-1)*2^(n-1)  +...+  p(1)*2  +  p(0))
               =  a^(p(n)*2^n)  *  a^(p(n-1)*2^(n-1))  *...*  a^(p(1)*2)  *  a^p(0)
对于p(i)=0的情况, a^（p(i) * 2^(i-1) ） =  a^0  =  1,不用处理
我们要考虑的仅仅是p(i)=1的情况
化简：a^(2^i)  = a^(2^(i-1)  * 2) = (  a^(  p(i)  *  2^(i-1)  )  )^2 （这里很重要！！具体请参阅秦九韶算法：http://baike.baidu.com/view/1431260.htm）

利用这一点，我们可以递推地算出所有的a^(2^i)
当然由算法1的结论，我们加上取模运算： a^(2^i)%c = ( (a^(2^(i-1))%c) * a^(2^(i-1)))  %c
于是再把所有满足p(i)=1的a^(2^i)%c按照算法1乘起来再%c就是结果， 即二进制扫描从最高位一直扫描到最低位

实例代码：递归

01.//计算a^bmodn       
02.int modexp_recursion(int a,int b,int n)       
03.{      
04.    int t = 1;  
05.  
06.    if (b == 0)  
07.        return 1;  
08.  
09.    if (b == 1)  
10.         return a%n;  
11.  
12.    t = modexp_recursion(a, b>>1, n);  
13.  
14.    t = t*t % n;  
15.  
16.    if (b&0x1)  
17.    {      
18.        t = t*a % n;  
19.    }  
20.  
21.    return t;  
22. }   

实例代码2：非递归优化

01.#include <iostream>     
02.using namespace std;     
03.    
04.//计算a^bmodn     
05.int modexp(int a,int b,int n)     
06.{     
07.    int ret=1;     
08.    int tmp=a;     
09.    while(b)     
10.    {     
11.       //基数存在     
12.       if(b&0x1) ret=ret*tmp%n;     
13.       tmp=tmp*tmp%n;     
14.       b>>=1;     
15.    }     
16.    return ret;     
17.}     
18.    
19.int main()     
20.{     
21.    cout<<modexp(2,10,3)<<endl;     
22.    return 0;     
23.}