[初等数论]拓展欧几里得

裴蜀定理大家应该都知道对于任意一组互质的a，b必有一组x，y满足ax+by=(a,b)(即gcd）那么给定a，b，求一组xy满足这个定

理，就要用到我们的拓展欧几里得。

推导过程：

ax+by=(a,b)

(a,b)=(b,a mod b)//辗转相除，不会欧几里得辗转相除的建议学会了再学拓展欧几里得

(b,a mod b)=bx2+(a mod b)y2

因为a mod b=a-b[a/b]//[]表示向下取整

所以(b, a mod b)=bx2+(a-b[a/b])y2=bx2+ay2-b[a/b]y2=ay2+b(x2-[a/b]y2)

即ay2+b(x2-[a/b]y2)==ax1+by1

根据恒等式定理得x1=y2,y1=x2-[a/b]y2

因此可以知道x和y都可以由辗转相除的下一个状态得到

只要我们就写一个递归，就能得到x，y的值了

那么考虑递归边界

(a,0)

它必有一个前驱子状态(aq,a)

要满足aqx+ay=a

我们取y=1，x=0

那么在(a,0)下

x=1，y=0

所以我们的递归就出来了

#include<iostream>
using namespace std;
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
	if(b==0)
	{
		x=1;
		y=0;
		return a;
	}
	int q=exgcd(b,a%b,y,x);//交换 y和x的位置可以直接使x1=y2，简化了代码
	y-=a/b*x;
	return q;
	
}
int main()
{
	int a,b,x,y;
	cin>>a>>b;
	exgcd(a,b,x,y);
	cout<<x<<" "<<y;
}

感谢评论区的一个网友让我对拓展欧几里得的理解更深了

扩展欧几里得算法是指对于两个数a,b。一定能找到x,y（均为整数，但不满足一定是正数）满足x*a+y*b=gcd(a,b).gcd（x,y)是指x 与 y的最大公约数。

也就是说，找到了一个特解，所有解都可以求出。

怎么求呢？

假设x1 与 y1就是一组特解，那么全部解就有：

我们知道，当被减数与减数同时加上一个数，那么他们的差是不变的。(x1*a+y1*b=x1*a-(-y1*b)=gcd(x,y))

现在，我们要保证xn*a与—yn*b的差也要是gcd(a,b)，那么我们得对a*x1与-y1*b同时加上一个数，又要保证加完这个数后，他还是a和b的倍数，就是说，这个数要是a的倍数，也要是b的倍数。那么加上的数只能是a与b的最小公倍数的倍数。

总结一下，

就是说：

所有的解为：

Xn=X1+b*t/gcd(a,b).

Yn=-Y1+a*t/gcd(a,b).

为什么是这些算式，请自行思考

具体代码可以是循环也可以用递归实现，我就不具体打了