N－Queens

The n-queens puzzle is the problem of placing n queens on an n×n chessboard such that no two queens attack each other.

Given an integer n, return all distinct solutions to the n-queens puzzle.

Each solution contains a distinct board configuration of the n-queens' placement, where 'Q' and '.' both indicate a queen and an empty space respectively.

For example,
There exist two distinct solutions to the 4-queens puzzle:

[
 [".Q..",  // Solution 1
  "...Q",
  "Q...",
  "..Q."],

 ["..Q.",  // Solution 2
  "Q...",
  "...Q",
  ".Q.."]
]

N皇后的题目听传闻已久。主要是在一个n*n的板上布上n个棋子，这n个棋子不能在同一行同一列，也不能在同一条对角线上。本身这题有非常多的解法。但是用代码求解的方式，也就是暴力枚举的方法，复杂度是指数的，毕竟方案数目一共就是指数多个。这种需要求出所有组合的方式基本就是深搜DFS来解了。另外注意这种方式需要结合回溯来做。

这题的重点在于检查皇后是否同行同列。因为我们每一行只放置一个皇后，所以很好的解决了同一行的问题，所以剩下的还需要解决的问题是同列。1.一个解决方案是维护像Permutations中这样的used数组，已经枚举过的列不再枚举，防止重复。2.另外一种是直接检查。对于当前的位置，检查前面每一行在当前这一列是否有皇后。对于对角线问题，一个是正对角线，一个是斜对角。对角线的特征是：组成对角线的两点，横向距离等于纵向距离，组成了正方形。

代码如下：

class Solution(object):
    def solveNQueens(self, n):
        """
        :type n: int
        :rtype: List[List[str]]
        """
        res = []
        cur = []
        self.helper( res, cur, n)
        return res
    def  helper(self, res, cur, n):
         if len(cur) == n:
             item = [['.']*n for i in xrange(n)] 
             for i in xrange(n):
                 item[i][cur[i]] = 'Q'
                 item[i] = ''.join(item[i])
             res.append(item+[])
             return
         for i in xrange(n):
             if self.check(cur, i):
                 continue
             cur.append(i)
             self.helper(res, cur, n)
             cur.pop()
    def check(self, cur, i):    ＃检查是否合格
        row = len(cur)
        for j in xrange(row):
            if row - j == abs(cur[j] - i) or cur[j] == i: ＃前面检查是否在一条对角线上，后面解决是否在同一列上。
                return True
        return False

这题在每次取一点时都要用O(i)的时间去检查，组成一个方案需要O(n^2)时间，一共n!方案，所以最终复杂度为O(n^2*n!).空间复杂度为O(n).