四元数的笔记

定义

四元数　(h = a + bi + cj + dk)

共轭:　$ h^* = a -bi -cj -dk$

逆：　$ h^{-1} = frac{h^*}{|h|^2}$

所以单位四元数的共轭等于他的逆

单位四元数（绝对值为1的四元数）若实部为cos(t),它的共轭作用是一个角度为2t的转动，转轴为虚部的方向。

四元数的优点是：

• 表达式无奇点,无万向锁（和例如欧拉角之类的表示相比）
• 比矩阵更简炼,旋转矩阵有９个变量（也更快速）
• 单位四元数可以表示四维空间中的一个转动。

只有单位四元数才能表示旋转，所以在Eigen中一般会有quaternion.normialzed()进行归一化的处理

任给一个单位四元数q，计算它的虚部，我们就马上可以知道转轴是什么,计算一个单位四元数的实部，它的反余弦值给出旋转角的一半。在四元数表示下，计算转轴和旋转角变得异常简单。

四元数的微分

当我们使用旋转轴加上旋转角表示旋转的时候，我们定义如下

(v =u heta) , u是单位向量，( heta = ||v||)

并且由泰勒展开，我们有，　(e^v = e^{u heta} = cos heta + usin heta)

记住一个绕轴ｕ旋转( heta)角度的旋转，表示成四元数的时候是做两次旋转，对应的ｑ是(cos(frac { heta}{2}) + u sin(frac { heta}{2})) = ( egin{bmatrix} cos(frac { heta}{2}) \ u sin(frac { heta}{2}) \ end{bmatrix})

[x^{'} = q igotimes x igotimes q^{*}　= Rx ]

对应的当我们旋转很小的角度，( heta) --> 0的时候，我们对上面的矩阵和ｅ函数求近似值，有

对时间求微分

[frac {d q(t)}{dt} = lim frac{q(t+Delta t) - q(t)}{Delta t} ]

代入就有

[frac {d R(t)}{dt} = lim frac{Delta RR(t) - R(t)}{Delta t} ]

[omega _L = frac{d heta _L(t)}{dt} ]

[frac{d R^{e}_{b}}{dt} = [sideset {^e} {}omega] _{ imes} R^{e}_{b} ]

[frac{d R^{e}_{b}}{dt} = R^{e}_{b} [sideset {^b} {}omega ]_{ imes} ]

看上面的公式，角速度在不同的坐标系表示下，一个是乘在左边的一个是在右边的，如果把右边的一个Ｒ乘过去，

[dot{R(t)}R(t)^T = phi(t)^wedge ]

这个是不是很熟悉，就是李群和李代数之间的变换关系。

在下面的那篇论文中可以证明，

说明李群中对应的skew-matrix不是随便选取的(不是只要满足反对成矩阵的性质)，是有一定的方法。(omega)又叫做rotation vector. encodes the angle and axis of rotation

[dot q(t) = frac{1}{2}q(t) igotimes omega(t) ]

在一段时间内([t_n,t_{n+1}]),(dot omega =0),

上面的左边就是(e^{omega Delta t/2})，根据上面说的这个指数对应的旋转角是(w_n Delta t),所以有，

[q(n+1) = q(n) igotimes q{w_n Delta t} ]

这样我们就有了相邻时刻的四元数关系，上面的所有公式都可以在下面的论文找到。

Quaternion kinematics for the error-state Kalman filter