强大的C# Expression在一个函数求导问题中的简单运用

【问题梗概】

求一个函数的一阶导数。

【代码方案】

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1. using System;  
2. using System.Linq.Expressions;  
3.   
4. namespace Derivative  
5. {  
6.     class Program  
7.     {  
8.         // 求一个节点表达的算式的导函数  
9.         static Expression GetDerivative(Expression node)  
10.         {  
11.             if (node.NodeType == ExpressionType.Add   
12.                 || node.NodeType == ExpressionType.Subtract)  
13.             {   // 该节点在做加减法，套用加减法导数公式  
14.                 BinaryExpression binexp = (BinaryExpression)node;  
15.                 Expression dleft = GetDerivative(binexp.Left);  
16.                 Expression dright = GetDerivative(binexp.Right);  
17.                 BinaryExpression resbinexp;  
18.   
19.                 if (node.NodeType == ExpressionType.Add)  
20.                     resbinexp = Expression.Add(dleft, dright);  
21.                 else  
22.                     resbinexp = Expression.Subtract(dleft, dright);  
23.                 return resbinexp;  
24.             }  
25.             else if (node.NodeType == ExpressionType.Multiply)  
26.             {   // 该节点在做乘法，套用乘法导数公式  
27.                 BinaryExpression binexp = (BinaryExpression)node;  
28.                 Expression left = binexp.Left;  
29.                 Expression right = binexp.Right;  
30.   
31.                 Expression dleft = GetDerivative(left);  
32.                 Expression dright = GetDerivative(right);  
33.   
34.                 return Expression.Add(Expression.Multiply(dleft, right),   
35.                     Expression.Multiply(left, dright));  
36.             }  
37.             else if (node.NodeType == ExpressionType.Parameter)  
38.             {   // 该节点是x本身（叶子节点），故而其导数即常数1  
39.                 return Expression.Constant(1.0);  
40.             }  
41.             else if (node.NodeType == ExpressionType.Constant)  
42.             {   // 该节点是一个常数（叶子节点），故其导数为零  
43.                 return Expression.Constant(0.0);  
44.             }  
45.   
46.             throw new NotImplementedException();    // 其余的尚未实现          
47.         }  
48.   
49.         static Func<double, double> GetDerivative(Expression<Func<double, double>> func)  
50.         {  
51.             // 从Lambda表达式中获得函数体  
52.             Expression resBody = GetDerivative(func.Body);  
53.   
54.             // 需要续用Lambda表达式的自变量  
55.             ParameterExpression parX = func.Parameters[0];  
56.   
57.             Expression<Func<double, double>> resFunc  
58.                 = (Expression<Func<double, double>>)Expression.Lambda(resBody, parX);  
59.   
60.             // 打印看一下导数解析式，在这个实现中结果是1+1*x+x*1（因为缺乏优化）  
61.             Console.WriteLine("diff function = {0}", resFunc);  
62.   
63.             // 编译成CLR的IL表达的函数  
64.             return resFunc.Compile();  
65.         }  
66.   
67.         static double GetDerivative(Expression<Func<double, double>> func, double x)  
68.         {  
69.             Func<double, double> diff = GetDerivative(func);  
70.             return diff(x);  
71.         }  
72.   
73.         static void Main(string[] args)  
74.         {  
75.             // 举例：求出函数f(x) = x*x+x 在x=32处的导数  
76.             double y = GetDerivative(x => x * x + x, 32);  
77.             Console.WriteLine("f'(x) = {0}", y);  
78.         }  
79.     }  
80. }  

【实现大意】

用表达式分解并递归求导（过程是相当容易的，比想象的还容易）。目前只是实现了一个最简单的模型。

【优势】

给出的是解析解，在求导运算方面没有任何数值解的误差，输出运算也是瞬时的，时间复杂度仅和表达式复杂度相关。

【限制】

1. 函数只能以Lambda表达式输入，只能是能求出解析解的表达式

2. 目前只实现了加减法和乘法

【后续扩展】

1. 实现其他运算符（没有太大难度，只是比较繁琐而已）

2. 表达式树优化（也不太难的，根据情况定），最基本的可以从常数乘法开始……

3. 条件运算符的处理（这个会变得极难极复杂，但一定程度上实现分段函数求导），其他特殊情况（对求导还可以，如果考虑求不定积分问题可能会有很多特殊情况和hardcode）

4. 输入端向字符串解析过渡；复杂运算符->逐渐向自定义的数据结构过渡？……