DP + math 之 Codeforces 126D

//  [7/12/2014 Sjm]
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题目：
By the given number n determine the number of its possible different decompositions into Fibonacci sum.
 
前提：
1） F[86] 是 >=10^18 的最大Fibonacci数;
2）
（由Fibonacci数列的构造式决定，举几个例子就可以知道了）
假设的Fibonacci数的下标区间为[m, n)，包括 m, 对n进行拆分，其分解的数目是： (n-m)>>1
假设的Fibonacci数的下标区间为(m, n)，不包括 m, 对n进行拆分，其分解的数目是： (n-m-1)>>1
 
思路：
用 N 减去（与N相等或小于N）的最大的Fibonacci数，并将得到的值付给N，不断循环，直至 N 为零。
（保证拆分出来的Fibonacci数的数目是最少的，使 dp 时不会漏掉情况）
 
将取得的所有Fibonacci数从小到大排列出来， 存储于 get_index[] (存储的是所取得的Fibonacci的标号)
 
状态：	
dp[i][1]: 在拆分 N 时，已选取 get_index[i] 位置所代表的Fibonacci数， 此情况下不同分解的数目
		（言外之意是：不可以将 get_index[i] 位置所代表的Fibonacci数拆了）
dp[i][0]: 在拆分 N 时，没有选取 get_index[i] 位置所代表的Fibonacci数，此情况下不同分解的数目
		（言外之意是：可以将 get_index[i] 位置所代表的Fibonacci数用其他Fibonacci数拆了）
 
分析:   
1) dp[i][1]的情况： 
	由于不可以将 get_index[i] 位置所代表的Fibonacci拆数了，
	故决定dp[i][1]的因素是 get_index[i-1] 位置所代表的Fibonacci数
		
2) dp[i][0]的情况：
	此时 get_index[i] 位置所代表的Fibonacci数可拆，
	故	在 dp[i-1][0] 的基础上： 需要分解的Fibonacci数下标区间为  [get_index[i-1], get_index[i])
		在 dp[i-1][1] 的基础上： 需要分解的Fibonacci数下表区间为  (get_index[i-1], get_index[i])
		（求解方法，参见前提）
		至于为什么这样分解，可以看一下这样几个例子（关键看从上到下的排列方式）：
		例1：	13 = 13				  例2：	16 = 13 + 3
			13 = 8 + 5				16 = 13 + 2 + 1
			13 = 8 + 3 + 2				16 = 8 + 5 + 3
								16 = 8 + 5 + 2 + 1
							
决策：
	初始状态： dp[0][1] = 1,  dp[0][1] = (get_index[i] - 1)>>1;
	dp[i][1] = dp[i - 1][1] + dp[i - 1][0];
	dp[i][0] = dp[i - 1][0] * ((get_index[i] - get_index[i - 1]) >> 1) 
		 + dp[i - 1][1] * ((get_index[i] - get_index[i - 1] - 1) >> 1);
 
*/

#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;

typedef __int64 int64;
const int MAX = 90;

int64 F[MAX];
int get_index[MAX];
int64 dp[MAX][2];

void Fib()
{
    F[0] = 1;    F[1] = 1;
    for (int i = 2; i < 87; ++i) {
        F[i] = F[i - 1] + F[i - 2];
    }
}

int64 Solve(int len)
{
    dp[0][1] = 1;
    dp[0][0] = (get_index[0] - 1) >> 1;
    for (int i = 1; i < len; ++i) {
        dp[i][1] = dp[i - 1][1] + dp[i - 1][0];
        dp[i][0] = 
                dp[i - 1][0] * ((get_index[i] - get_index[i - 1]) >> 1)
            +    dp[i - 1][1] * ((get_index[i] - get_index[i - 1] - 1) >> 1);
    }
    return (dp[len - 1][0] + dp[len - 1][1]);
}

int main()
{
    //freopen("input.txt", "r", stdin);
    Fib();
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while (T--) {
        int64 n;
        int len = 0;
        scanf("%I64d", &n);
        for (int i = 86; i >= 1; --i) {
            if (F[i] <= n) {
                n -= F[i];
                get_index[len++] = i;
            }
        }
        if (n) { 
            // 若无法将 N 拆分成不等的Fibonacci数之和，输出 0。
            //（这里不判断也可以AC，但是目前我无法给出“任何一个正整数都可以用不等的Fibonacci数列表示”的数学证明）
            printf("0
");
            continue;
        }
        reverse(get_index, get_index + len);
        printf("%I64d
", Solve(len));
    }
    return 0;
}