P2480 SDOI 古代猪文（自带其他详细基础数论）

P2480 SDOI2010古代猪文

题目大意:求

(G^{sum_{d|n}{n choose d}}~mod~999911659)

各种基础数论全家桶，做这个题相当于复习今天内容了

999911659为质数

费马小定理(a^pequiv a(mod~p)),(a^p~mod~p=a~mod~p)

(p是质数时,φ(p)=p-1,根据欧拉定理推论a^bequiv a^{b~mod~φ(n)}=a^{b~mod~(p-1)}(mod~n))

化简可得(a^{sum d|nC_n^d~mod~999911658}mod999911659)

质因数分解(999911658 = 2*3*4679*35617)

(枚举每个d，再用个Lucas定理或其他鬼方法把C_n^d算出来,分别计算sum C_n^d对四个质数取模结果记为a_1,a_3,a_3,a_4)

跑个中国剩余定理

中国剩余定理:(m_i是两两互质的整数,m=prod_{i=1}^nm_i,M_i=m/m_i,t_i)是线性同余方程(M_it_iequiv1(mod~m_i))

的一个解,对于任意的n个整数(a_i),方程组有整数解为(x=sum_{i=1}^na_iM_it_i)

[left{ egin{aligned} x & equiv a_1(mod~2) \ x & equiv a_2(mod~3) \ x&equiv a_3(mod~4679)\ x&equiv a_4(mod~35617)\ end{aligned} ight. ]

#include<cstdio>
#define maxn
#define mod 999911658
#define int long long
using namespace std;
int n,G,jc[40000],a[5],b[5]={0,2,3,4679,35617},ans;
inline int qpow(int a,int k,int p)
{
	int res=1;
	while(k)
	{
		if(k&1) res=(res*a)%p;
		a=(a*a)%p;
		k>>=1;
	}
	return res%p;
}
void jiecheng(int p){
	jc[0] = 1;
	for(int i = 1;i<=p;i++)
	jc[i] = jc[i-1] * i % mod;
}
int C(int n,int m,int p){
	if(n < m) return 0;
	return jc[n] * qpow(jc[m],p-2,p) % p * qpow(jc[n-m],p-2,p) % p;
}
int lucas(int n,int m,int p){
	if(n<m) return 0;if(!n) return 1;
	return lucas(n/p,m/p,p)*C(n % p,m % p,p) % p;
}
void zgsy(){
	for(int i=1;i<=4;i++)
	ans=(ans+a[i]*(mod/b[i])%mod*qpow(mod/b[i],b[i]-2,b[i]))%mod;
}
signed main(){
	scanf("%lld%lld",&n,&G);
	if(G%(mod+1)==0){
		printf("0
");
		return 0;
	}//特判
	for(int k=1;k<=4;k++){
		jiecheng(b[k]);
		for(int i=1;i*i<=n;i++){
			if(n%i==0){
				a[k]=(a[k]+lucas(n,i,b[k]))%b[k];
				if(i*i!=n){
					a[k]=(a[k]+lucas(n,n/i,b[k]))%b[k];
				}
			}
		}
	}//逐一枚举n的约数
	zgsy();
	printf("%lld
",qpow(G,ans,mod+1));//注意mod要+1
	return 0;
}

[计算组合数的几种方法:\ 1.递推杨辉三角C_n^m=C_{n-1}^m+C_{n-1}^{m-1}~C[0][0]=C[1][0]=1,求一个组合数可以滚动,倒着枚举,代码如下\ 2.乘法逆元:**这种方法只适用于对答案模一个大质数的情况**,根据通项公式预处理阶乘算逆元乱搞\ 质数一定要大\ 3.Lucas定理:C_n^m=C_{n/p}^{m/p}*C_{n\%p}^{m\%p}(mod~p)\ 4.质因数分解，要乘或除的每一个数分解质因数，再把分母的质因数减掉，最后把剩下的质因数乘起来，边乘边模p ]

//一维递推组合数
	cin>>n>>m;
    m=min(m,n-m);
    c[0]=1;
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        for (int j=m;j>=1;j--)
    	c[j]=c[j]+c[j-1];
    }
    cout<<c[m];
//线性推逆元
long long inv[10000005];
inv[1]=1;
long long ny(int x,int p)
{
    if (inv[x] != 0) return inv[x];
    inv[x]=(p - p / x) * ny(p % x,p) % p;
    return inv[x];
}
//费马小定理求逆元 a mod p乘法逆元=a^(p-2)
快速幂`````
qpow(a,p-2)
//扩欧
void exgcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y)    //拓展欧几里得算法
{
    if(!b) x = 1, y = 0;
    else
    {
        exgcd(b, a % b, y, x);
        y -= x * (a / b);
    }
}
LL niYuan(LL a, LL b)   //求a对b取模的逆元
{
    LL x, y;
    exgcd(a, b, x, y);
    return (x + b) % b;
}

[xequiv1(mod~3)\ xequiv1(mod~5)\ xequiv2(mod~7)\ xequiv b_i(mod~a_i) \ a=prod_i^na_i,A_i=a/a_i,t_i是方程A_it_iequiv1(mod~a_i)的解\ 方程组的解为x=sum_{i=1}^nb_iA_it_i ]

//曹冲养猪
#include<iostream>
#define ll long long
using namespace std;
int a[11],b[11],n;
ll mul = 1,t;
inline void Exgcd(ll a,ll b,ll &d,ll &x,ll &y){
	if(!b){d=a;x=1;y=0;}
	else{
		Exgcd(b,a%b,d,x,y);
		ll t=x;x=y;y=t-(a/b)*y;
	}
}
int main(){
	std::cin>>n;
	ll ans=0,t,x,y,d;;
	for(int i = 1;i <= n;i++){
		std::cin>>a[i]>>b[i];
		mul *= a[i];
	}
	for(int i = 1;i <= n;i++) {
	t = mul / a[i];
	Exgcd(t,a[i],d,x,y);
	ans=((ans+t*x*b[i])%mul+mul)%mul;
	}
	std::cout<<(ans+mul) % mul;
}

计算器

BSGS,快速求出(a^xequiv b(mod~p))的最小非负整数解

将(x)拆分成(i*m-j)形式,(m为sqrt(p)上取整,原式化成a^{i*m-j}equiv b(mod~p))

(a^{i*m}equiv b*a^j(mod~p))，从(0-m)枚举(i),算出所有的(a^{i*m})

如果一个对应的(a^{i*m})的值已经在哈希表,则表明(i*m-j)为一个解,输出此时的解

因为(jle m)，所以求出的解随(i)的增大而减小,所以最先求出(i)所对应的解，即为所求
、
、
、
、
、
、
(aequiv b(mod~n)Leftrightarrow n|(a-b))

(aequiv b(mod~n),cequiv d(mod~n)Leftrightarrow a±cequiv b±d(mod~n))

(⇔acequiv bd(mod~n)⇔kaequiv kb(mod~n)⇔a^mequiv b^m)

(gcd(a,n)=1)时(abequiv ac(mod~n)⇔bequiv c(mod~n))

(φ(n)=sum_{i=1}^n[gcd(i,n)=1][为布尔式],φ(1)=1,φ(p)=p-1,pin prime)

对于质数 p 的 k 次方 (p^k)显然：小于等于它的数一共 (p^k)个，只有含有质因数 p的数与它不互质，这些数为：

(p,2p,3p⋯p^{k-1}⋅p)共(p-1)个,(故φ(p^k)=p∈Prime,k∈Z+)

同时还能得到递推式：(φ(p^{k+1})=p^{k+1}-p^k=p(p^k-p^{k-1})=p*φ(p^k))

欧拉函数筛法:

[φ(p*n)=φ(n)*(p|n)~?~p:(p-1) ]

(a^{p-1}equiv1(mod~p))可得(a^{n}equiv a^{n~mod~(p-1)}(mod~p))

欧拉定理:(gcd(a,m)=1可以得到a^{φ(m)}equiv1(mod~m))

推论(a^{n}equiv(a~mod~m)^{(n~mod~φ(m))}(mod~m))