均值与方差
首先回忆下均值和方差的定义，若存在(n)个数为(x_1, x_2, dots, x_n)，则均值(mu)为：
[mu = frac{x_1+x_2+dots+x_n}{n}
]
均值衡量的是数值集中在哪个数值附近。令标准差为(sigma)，则方差(sigma^2)为：
[sigma^2 = frac{1}{n} sum_{i=1}^{n}(x_i - mu)^2
]
标准差用于衡量数值分布距离均值的平均距离，即数据的集中程度。
定性分析
定性地分析，高斯滤波（平滑）对图像进行平滑，会让当前像素与周围像素更加接近，像素间更加接近自然方差会变小。从频域角度，高斯滤波相当于低通滤波，会移除图像中“突兀”的高频成分，剩下的自然是相对“不突兀”的部分，反映在方差上就会变小。
定量分析
定量地看，若不对图像进行任何假设，认为每个像素符合独立同分布，其均值和方差分别为(mu)和(sigma^2)，对其进行高斯滤波，假定窗口内共有(n)个像素，灰度值为(x_1, x_2, dots, x_n)，对应的高斯权重为(g_1, g_2, dots, g_n)，有(sum_{i=1}^n g_i = 1, forall g_i>0)，则滤波后的当前像素的值为：
[y = sum_{i=1}^{n} g_i x_i
]
(y)的方差即：
[Var(y) = Var(sum_{i=1}^{n} g_i x_i)=Var(g_1 x_1 + g_2 x_2 +dots+g_n x_n)
]
其中当高斯核确定后，(g_1, g_2, dots, g_n)为常数，因为(x_1, x_2, dots, x_n)相互独立且同分布，则进一步地
[Var(y) = g_1^2 Var(x_1)+g_2^2Var(x_2)+dots+g_n^2Var(x_n)=sigma_2 sum_{i=1}^{n}g_i^2
]
由上(sum_{i=1}^n g_i = 1, forall g_i>0)，(forall g_i <1)，则(sum_{i=1}^{n}g_i^2 < 1)，所以(Var(y)=sigma^2 sum_{i=1}^{n}g_i^2 < sigma^2)，即经过高斯滤波后方差变小。
这里并不限于高斯滤波，对其他平滑滤波器同样试用——只需满足上述权重条件即可，即平滑滤波器将降低图像的方差。
当然，也可以从连续角度分析，具体可见参考部分。
参考
出自本人博客：高斯滤波对图像方差有什么影响