数据结构中的各种树浅谈

数据结构中为了存储和查找的方便，用各种树结构来存储文件，本章就浅谈一下各种树的表示方法、特点及各自的用途，本章设计的树结构包括：二叉查找树（二叉排序树）、平衡二叉树（AVL树）、红黑树、B-树、B+树、字典树（trie树）、后缀树、广义后缀树。

1、二叉查找树（二叉排序树）

　　（图a）

二叉查找树是一种动态查找表（图a），具有这些性质：                                 
（1）若它的左子树不为空，则左子树上的所有节点的值都小于它的根节点的值；
（2）若它的右子树不为空，则右子树上所有节点的值都大于它的根节点的值；
（3）其他的左右子树也分别为二叉查找树；
（4）二叉查找树是动态查找表，在查找的过程中可见添加和删除相应的元素，在这些操作中需要保持二叉查找树的以上性质。

2、平衡二叉树（AVL树）

（图b）

　　含有相同节点的二叉查找树可以有不同的形态，而二叉查找树的平均查找长度与树的深度有关，所以需要找出一个查找平均长度最小的一棵，那就是平衡二叉树（图b），具有以下性质：
（1）要么是棵空树，要么其根节点左右子树的深度之差的绝对值不超过1；
（2）其左右子树也都是平衡二叉树；
（3）二叉树节点的平衡因子定义为该节点的左子树的深度减去右子树的深度。则平衡二叉树的所有节点的平衡因子只可能是-1,0,1。

3、红黑树

　　

（图c）

　　红黑树是一种自平衡二叉树，在平衡二叉树的基础上每个节点又增加了一个颜色的属性，节点的颜色只能是红色或黑色。具有以下性质：
（1）根节点只能是黑色；
（2）红黑树中所有的叶子节点后面再接上左右两个空节点，这样可以保持算法的一致性，而且所有的空节点都是黑色；
（3）其他的节点要么是红色，要么是黑色，红色节点的父节点和左右孩子节点都是黑色，及黑红相间；
（4）在任何一棵子树中，从根节点向下走到空节点的路径上所经过的黑节点的数目相同，从而保证了是一个平衡二叉树。

4、B-树

（图d）

　　B-树是一种平衡多路查找树，它在文件系统中很有用。一棵m阶B-树（图d为4阶B-树），具有下列性质：
（1）树中每个节点至多有m棵子树；
（2）若根节点不是叶子节点，则至少有2棵子树；
（3）除根节点之外的所有非终端节点至少有棵子树；
（4）每个节点中的信息结构为（A0,K1,A1,K2......Kn,An），其中n表示关键字个数，Ki为关键字，Ai为指针；
（5）所有的叶子节点都出现在同一层次上，且不带任何信息，也是为了保持算法的一致性。

5、B+树

（图e）

　　B+数是B-树的一种变形，它与B-树的差别在于（图e为3阶B+树）：
（1）有n棵子树的节点含有n个关键字；
（2）所有的叶子节点包含了全部关键字的信息，及指向这些关键字记录的指针，且叶子节点本身按关键字大小自小到大顺序链接；
（3）所有非终端节点可以看成是索引部分，节点中仅含有其子树（根节点）中最大（或最小）关键字，所有B+树更像一个索引顺序表；
（4）对B+树进行查找运算，一是从最小关键字起进行顺序查找，二是从根节点开始，进行随机查找。

6、字典树（trie树）

（图f）

　　字典树是一种以树形结构保存大量字符串。以便于字符串的统计和查找，经常被搜索引擎系统用于文本词频统计。它的优点是：利用字符串的公共前缀来节约存储空间，最大限度地减少无谓的字符串比较，查询效率比哈希表高。具有以下特点（图f）：
（1）根节点为空；
（2）除根节点外，每个节点包含一个字符；
（3）从根节点到某一节点，路径上经过的字符连接起来，为该节点对应的字符串。
（4）每个字符串在建立字典树的过程中都要加上一个区分的结束符，避免某个短字符串正好是某个长字符串的前缀而淹没。

7、后缀树

所谓后缀树，就是包含一则字符串所有后缀的压缩了的字典树。先说说后缀的定义。给定一长度为n的字符串S=S₁S₂..S_i..S_n，和整数i，1 <= i <= n，子串S_iS_i+1...S_n都是字符串S的后缀。以字符串S=XMADAMYX为例，它的长度为8，所以S[1..8], S[2..8], ... , S[8..8]都算S的后缀，我们一般还把空字串也算成后缀。这样，我们一共有如下后缀。对于后缀S[i..n]，我们说这项后缀起始于i。

1. S[1..8], XMADAMYX， 也就是字符串本身，起始位置为1
2. S[2..8], MADAMYX，起始位置为2
3. S[3..8], ADAMYX，起始位置为3
4. S[4..8], DAMYX，起始位置为4
5. S[5..8], AMYX，起始位置为5
6. S[6..8], MYX，起始位置为6
7. S[7..8], YX，起始位置为7
8. S[8..8], X，起始位置为8
9. 空字串。记为$。

所有这些后缀字符串组成一棵字典树：

仔细观察上图，我们可以看到不少值得压缩的地方。比如蓝框标注的分支都是独苗，没有必要用单独的节点同边表示。如果我们允许任意一条边里包含多个字母，就可以把这种没有分叉的路径压缩到一条边。另外每条边已经包含了足够的后缀信息，我们就不用再给节点标注字符串信息了。我们只需要在叶节点上标注上每项后缀的起始位置。于是我们得到下图：

这样的结构丢失了某些后缀。比如后缀X在上图中消失了，因为它正好是字符串XMADAMYX的前缀。为了避免这种情况，我们也规定每项后缀不能是其它后缀的前缀。要解决这个问题其实挺简单，在待处理的子串后加一个空字串就行了。例如我们处理XMADAMYX前，先把XMADAMYX变为 XMADAMYX$，于是就得到suffix tree。

这就形成一棵后缀树了。关于如何建立一棵后缀树，已有很成熟的算法，能在o(n)时间内解决。

8、广义后缀树

　　广义后缀树是好几个字符串的的所有后缀组成的字典树，同样每个字符串的所有后缀都具有一个相同的结束符，不同字符串的结束符不同。

传统的后缀树只能处理一个单词的所有后缀。广义后缀树存储任意多个单词的所有后缀。例如字符串“abab”和“baba”，首先将它们使用特殊结束符链接起来，如表示成“abab$baba#”,然后求连接后的新字符的后缀树，遍历所得后缀树，如遇到特殊字符，如“$”,"#"等则去掉以该节点为跟的子树，最后所得后缀树即为原字符串组的广义后缀树。其实质是将两个字符串的所有后缀，即：abab$,bab$,ab$,b$,baba#,aba#,ba#,a#,组成字典树，再进行压缩处理。广义后缀树的一个常应用就是判断两个字符串的相识度。