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简单介绍CTC算法
CTC是序列标注问题中的一种损失函数。
传统序列标注算法需要每一时刻输入与输出符号完全对齐。而CTC扩展了标签集合，添加空元素。
在使用扩展标签集合对序列进行标注后，所有可以通过映射函数转换为真实序列的 预测序列，都是正确的预测结果。也就是在无需数据对齐处理，即可得到预测序列。
其目标函数就是 最大化 所有正确的预测序列的概率和。
在查找所有正确预测序列时，采用了前向后向算法。
前向过程计算从1-t时刻，预测出正确的前缀的概率；后向过程计算从t - T时刻，预测出正确的后缀的概率。
那么： 前缀概率 * 后缀概率 / t 时刻预测s的概率 = t 时刻时所有正确的预测序列的概率。
动态规划降低时间复杂度：只有在前一时刻到达预测出某些特定符号，在当前时刻，才可以做出正确预测。
那么，到 t 时刻为止，预测出正确的 标签序列的前缀 的概率 = (到t - 1为止预测正确的所有子序列概率和) * 预测出当前标签的概率。
定义与背景
CTC全称：Connectionist temporal classification， 主要用于处理序列标注问题中的输入与输出标签的对齐问题。
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什么是数据的对齐问题？ (参考链接：https://www.cnblogs.com/qcloud1001/p/9041218.html)
传统的语音识别的声学模型训练，对于每一帧的数据，需要知道对应的label才能进行有效的训练，在训练数据之前需要做语音对齐的预处理。
上图是“你好”这句话的声音的波形示意图， 每个红色的框代表一帧数据，传统的方法需要知道每一帧的数据是对应哪个发音音素。比如第1,2,3,4帧对应n的发音，第5,6,7帧对应i的音素，第8,9帧对应h的音素，第10,11帧对应a的音素，第12帧对应o的音素。（这里暂且将每个字母作为一个发音音素）
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传统模型的不足：
1. 训练数据之前需要做语音对齐的预处理，工作比较耗时，并且在缺失对齐标签时，无法做出准确预测；
2. 输出的预测是局部分类，只利用了当前帧的信息，并未利用序列的全局信息（比如相邻两个标签的连续性等，则需要通过其他外加处理。）
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CTC与传统模型的对比：
1. 与传统的声学模型训练相比，采用CTC作为损失函数的声学模型训练，是一种完全端到端的声学模型训练，不需要预先对数据做对齐，只需要一个输入序列和一个输出序列即可以训练。这样就不需要对数据对齐和一一标注，输入输出之间的alignment不再那么重要。
2. CTC直接输出序列预测的概率，不需要外部的后处理。
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CTC的算法原理
<1> 符号定义与目标函数
1. $A$: 序列标注任务中的标签所在字母表集合为 $A$
2. $A'$: 扩展的字母表集合。CTC的softmax 输出层中，比 $A$ 多包含一个标签。我们记为$'blank'$. 即 $A' = A igcup {blank}$. 那么在输出预测时，前$|A|$个单元输出的是对应字母表$A$中各元素的预测概率，最后一个单元输出的是预测为$'blank'$的概率。
3. $y_k^t$: 网络在 $t$ 时刻输出元素 $k$ 的概率，即在给定长度为 $T$ 的输入序列 $x$ 后，在 $t$ 时刻，预测为 $A'$ 中的元素 $k$ 的概率。
4. $A^{'T}$: 在 $A'$ 集合上的所有长度为 $T$ 的序列集合。
5. 假设在每一个时刻的输出与其他时刻的输出是条件独立的（或者说，条件独立于给定的 $x$ ），那么可以得到在给定输入 $x$ 后，得到 $A^{'T}$ 集合中任何一条路径 $pi$ 的概率分布： $ pi in A^{'T}$ 的分布：
$$p(pi | x) = prod_{t = 1} ^ T y_{pi_t}^t ag1$$ 。
我们记在$A^{'T}$集合中的序列 $pi$ 为 $paths$.
6. $l$: 我们记在 $A$ 集合中产生的标签序列为 $l$。
7. 由于在$A^{'T}$ 集合中可能有多条 $paths$，最终所映射的都是同一个序列, 我们需要定义一个多对一的函数，来实现从 $paths$集合到预测序列的映射。$F: A^{'T} ightarrow A^{le T}$
其中，我们设定映射后的序列长度不大于映射前的序列长度。
这是要做什么呢？举个例子：
$F(a-ab-) = F(-aa--abb) = aab$
函数映射关系是，将'-'与'-'之间的重复的元素，只保留一个，并且去掉'-'分隔。这样，无论我们的神经网络预测出的序列为‘a-ab-’ 或是 ‘-aa--abb’，它所对应的最终的预测结果都是 'aab'，而我们的目标函数也是将 'aab' 与真实标签序列作比较。
这样就不难看出，CTC算法并不要求预测标签与输入的一一对齐关系，而是关注于整个序列的最终预测结果，也就是经过这个函数映射后的结果。
那么我们预测出真实标签序列的概率可以表示为：
$$ p(l|x) = sum_{pi in F^{-1}(l)} p(pi|x) ag2$$
即所有的可以映射为真实标签序列的 预测序列的概率和。
<2> blank标签的角色
1. 可以出现重复字符。
设想一下，如果没有'-'，对于单词中有重复字符的，比如'apple'，其函数映射的结果为'aple'，这是不能满足实际情况需要的
2. 如果没有'-'，那么神经网络需要一直不停的预测出来一个label,直到下一个不同的label出现。而真实情况中，经常出现一段间隔内（比如语音的停顿处），并没有标签。所以有blank可以满足这样的情况需要。
<3> 前向后向算法的前向过程
由公式(2)，我们的目标函数是对所有可以映射为真实标签序列的paths的预测出的概率求和。那么首先，我们要先知道都有哪些paths可以映射为真实标签序列。
对于长度为 $T$ 的输入序列和长度为 $U$ 的标签序列，有2^[(T - U^2 + U(T-3))] * 3^ [(U - 1)(T- U) - 2]种不同路径
有指数级别的路径可能性，不能满足实际需要。为了降低时间复杂度，CTC算法处理时采用了动态规划方法。算法的主要思想是，在筛选可能的paths时，只选取前缀与$l$对应前缀是相同的那些paths. 这样说很难理解，举个例子。
1. 首先，我们构造一个table，希望通过这个table，直观的看出所有可以映射到真实标签序列'apple'的可能路径。
table的横坐标为输入的时间序列，纵坐标为将真实标签序列两两字母以'-'分隔，并且在首尾各加一个'-'。用$U'$标记标签序列经过'-'扩展后的序列。
那么从首'-'或'a'开始，到尾'e'或'-'结束；箭头只能向右，或向下，所有依次经过a, p, p, l, e的那些路径，即为我们要找的，可以映射为真实标签序列的路径。
比如下图1，黑线部分表示的预测的序列为 '- - a p - p l e' (t1时刻预测'-', t2时刻预测为'-', t3时刻预测为'a' ...)。 注意，红色箭头是错误的，因为我们不可能先预测出第3个标签，再预测出第2个标签，标签需要按顺序依次预测出。所以，箭头只能向右或向下！$F( '- - a p - p l e') = 'apple'$
图1.路径举例
那么初始t1时刻，我们只能处于'-'或‘a’的位置，
图2. 初始时刻状态
而最终，我们需要依次经过apple所有字母。
图3.搜索的最终结果状态。
那么，求总路径的问题，也就是找从初始位置，到结束位置的所有的可能路径的问题。
动态规划体现在哪里呢？敲黑板，下面内容是重点~
(1) 对于一条可能路径，其字路径的概率可以表示为，对应时刻神经网络预测标签的概率乘积。比如,如下图所示 $p('- a p - ') = y_-^1 * y_a ^ 2 * y_p^3 * y_-^4$
图4. subpath的概率计算
(2) $alpha_t(s)$: 称为前向变量(forward variable)。表示 前缀末端 在 $t$ 时刻到达序列的第 $s$ 个位置的所有可能子路径的概率和。前缀的意义是，在前$(1-t)$时间内，经过映射后，可以得到真实标签序列的前s / 2个符号。我们把符合这个要求的所有可能路径前缀的概率加和，即为 $alpha_t(s)$。
那么以此类推，在T时刻，可以到达终止节点'-'，或真实标签最后一个符号的，概率和，即为所有可以映射得到真实标签序列的预测序列的概率和，也就是我们需要最大化的目标。
如下图5所示：在 $t3$ 时刻，共有四条路径前缀终止于扩展的标签序列的的第4个节点p.那么$alpha_3(4) = p('-ap') + p('aap') + p('a-p') + p('app')$ 这四条子路径的前缀经过映射后，都可以得到真实标签序列的前缀：'ap'.
图5.前缀相同的子路径的概率和
(3) 之后，我们需要做的就是，对于每一个cell，都计算其对应的 $alpha_t(s)$。我们可以递归地进行计算。
即计算可以到达(t, s) 这个cell 的所有子路径概率和 与 在t时刻预测出符号s的概率做乘积，即为在t时刻，到达符号s的所有子路径的概率。
在计算中，有三种情况：
Case1. 第 $s$ 个符号为blank时。
比如 $s = 3, t = 3$，序列的第三个符号为 '-'。见图中红色的cell. $alpha_3(3)$ 只取决于 $alpha_2(3)$ (蓝色cell)和 $alpha_2(2)$ (绿色cell). 那么易得，$alpha_3(3) = (alpha_2(3) + alpha_2(2)) * y_-^3$.
一般的，有$$alpha_t(s) = (alpha_{t-1}(s) + alpha_{t-1}(s-1)) * y_{seq(s)}^t ag3$$
图6. Case1.前向算法中s=‘-’时的$alpha_s^t$ 计算
Case2. 第s个符号与第(s - 2)个符号相同时，即$seq(s) == seq(s - 2) $。
此时(t,s)cell,只取决于 (t-1, s) (蓝色cell) 和 (t - 1, s - 1)(绿色cell)。一般的：
$$alpha_t(s) = (alpha_{t-1}(s) + alpha_{t-1}(s-1)) * y_{seq(s)}^t ag4$$
图7. Case2.前向算法中seq(s) == seq(s - 2)时的$alpha_s^t$ 计算
Case3. 其他情况。有：
$$alpha_t(s) = (alpha_{t-1}(s) + alpha_{t-1}(s-1) + alpha_{t-1}(s-2) ) * y_{seq(s)}^t ag5$$
图8. Case3.前向算法中其他情况下 $alpha_s^t$ 的计算
(4) 通过以上步骤，我们最终可以得到$alpha_T(U - 1)$ 和 $alpha_T(U)$。那么预测出真实标签序列的概率为 $$p(l|x) =alpha_T(U' - 1) + alpha_T(U') ag6 $$. 前向过程完成！
图9. 前向过程完成得到预测出真实序列的概率
<4> 前向后向算法的后向过程
后向算法与前向类似，只是方向不同，后向是找 从序列末端到首端的各个子路径的概率。
定义$eta_t(s)$为 后缀起始于序列末端， $t$ 时刻到达第 $s$ 个符号的所有可能子路径的概率和。
比如，$t = 6, s = 8, eta_6(8)$表示所有以下图中红色节点开始的，最终可以到达序列末端的子路径的概率。$eta_6^(8) = p('lle') + p('l-e') + p('lee') + p('le')$
图10. 反向过程举例
那么，将前向过程中所有箭头反向，使用同样的计算方式，即可计算出反向变量。
图10. 反向过程
<5> 前向后向算法
<3>部分$alpha_s(t)$前向变量记录1-t时间内预测出正确前缀的概率（或者可以说，子路径的概率和）；<4>部分$eta_s(t)$后向变量记录t - T时间内预测出正确后缀的概率；
那么
$$alpha_t(s) * eta_t(s) / y_t^s ag7$$
即为 在t时刻，所有正确预测的，并且经过第s符号的，路径的概率和。(除以 y_t^s 因为在 $alpha$ 和 $eta$ 中乘了两次)。
举个例子：
$alpha_{t3}(2) = y_-^{t1} * y_-^{t2} * y_a^{t3} + y_-^{t1} * y_-^{t2} * y_-^{t3}$
$eta_{t3}(2) = y_a^{t3} * y_p^{t4} * y_-^{t5} * y_p^{t6} * y_l^{t7} * y_e^{t8}$
$alpha_{t3}(2) * eta_{t3}(2) = ( y_-^{t1} * y_-^{t2} * y_a^{t3} ) * ( y_a^{t3} * y_p^{t4} * y_-^{t5} * y_p^{t6} * y_l^{t7} * y_e^.{t8}) + (y_-^{t1} * y_-^{t2} * y_-^{t3}) * (y_a^{t3} * y_p^{t4} * y_-^{t5} * y_p^{t6} * y_l^{t7} * y_e^{t8}) = (p('--ap-ple') + p('-aap-ple) + p('aaap-ple')) * y_a^3$
那么 $alpha_{t3}(2) * eta_{t3}(2) / y_a^3$ = 在t3时刻，经过符号a的所有正确预测序列的概率和。
图11. 前向后向算法，在t时刻经过第s符号的所有正确预测的路径的概率和
那么将t3时刻，正确预测序列可能会预测出，a, -, p, -，用上面方法，将经过这四个符号的路径概率加和，即可得到在t3时刻，可以做出正确预测的概率。
图11. 前向后向算法，在t时刻可以做出正确预测的概率
最后，应用于1 - T的所有时刻，可以得到在任意时刻内预测出正确标签序列的概率。
$$p('apple') = sum_{s = 1}^{|seq|} frac{alpha_s(t) * eta_s(t)}{y_{seq(s)} ^ t} ag8$$
<6> 反向传播
我们的目标是最大化$p('apple')$，也就是$ min {-ln(p('apple'))}$，这是我们的目标函数
在反向传播时，我们需要对神经网络的每一个预测输出求偏导。
$$frac{partial{(-ln(p('apple')))}}{partial{y_k^t}} = -frac{1}{p('apple')} * frac{partial{p('apple')}}{partial{y_k^t}} ag9$$
我们重点看$$frac{partial{p('apple')}}{partial{y_k^t}} ag{10}$$的求解。
$p('apple')= frac{alpha_{s1}(t) * eta_{s1}(t)}{y_{s1}^t} + ... + frac{alpha_{k}(t) * eta_{s1}(t)}{y_{k}^t} +... + frac{alpha_{sT}(t) * eta_{sT}(t)}{y_{sT}^t}$
若t时刻过k，则t时刻时不可能经过其他字符的。也就是，在求偏导时，只有红色部分是包含$y_k^t$的，其他项可以看做常数项。
最终，
$$frac{partial{p('apple')}}{partial{y_k^t}} = -frac{1}{{y_k^t}^2} * sum_{s:seq(s) = k}alpha_t(s) * eta_t(s) ag{11}$$
举个例子：
这样就完成了！
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思考：
$alpha_S(T)$即可可表示所有正确预测序列的概率和，也就是可以表示目标函数，为什么要引入$eta$呢？
原因：为了反向传播时候求偏导方便呀！否则$alpha_S(T)$是关于$y_k^t$的一个复杂的函数，很难直接求导的，引入$eta$后，我们可以关注于t时刻内的偏导计算，会简便许多。
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<7> 要点总结
1. 动态规划
2. 矩阵 $alpha$ (前向变量)用于计算loss.
3. 矩阵$eta$ (后向变量)用来方便计算gradients.
参考链接：
1. Supervised Sequence Labelling with Recurrent Neural Networks：https://www.cs.toronto.edu/~graves/preprint.pdf
2. 语音识别中的CTC算法的基本原理解释：https://www.cnblogs.com/qcloud1001/p/9041218.html
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