子数组最大和的变化

参考：http://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MjM5ODIzNDQ3Mw%3D%3D&idx=1&mid=2649965753&scene=0&sn=787eab6fbd1f47563dd9bf4851499e79

原题

给定一个数组，我们可以找到两个不相交的、并且是连续的子数组A和B，A中的数字和为sum(A), B中的元素和为sum(B)。找到这样的A和B，满足sum(A) - sum(B)的绝对值是最大的。

例如：[2, -1 -2, 1, -4, 2, 8]划分为A=[-1, -2, 1, -4], B=[2, 8]， 最大的值为16

【先看数组最大子段和问题，上述问题就是最大子段和的变形】

代码

/**
 * 求数组的最大子段和
 * */
public static int maxSubArray(int[] nums){
    if(nums.length==0) return 0;
    if(nums.length==1) return nums[0];
    int localMax=nums[0];
    int globalMax=nums[0];
    for(int i=1; i<nums.length; i++){
        localMax=Math.max(localMax+nums[i], nums[i]);
        globalMax=Math.max(globalMax, localMax);
    }
    return globalMax;
}

分析

如果没有丰富的经验，这个题目咋一看，有一种不明觉厉的感觉。但只要逐层分析，就可以看到只要分析两层就可以了。首先我们来看看题目有哪些要点：

• 子数组是不相交的
• 子数组是连续的，这个有点多余，但还是强调一下得好。这里并不是说，A和B是紧邻的。

然后题目的要求是，差的绝对值最大。那我们自然而然能够想到：找到的两个不相交的子数组，一个值要很小，一个值要很大。这样才能够保证差的绝对值最大。那如何找到这样的数组呢？我们从不相交的这个条件入手，这个条件很关键。看题目中例子：

0	1	2	3	4	5	6
2	-1	-2	1	-4	2	8

看上面的表格，如果两个子数组不想交，我们有六个位置，作为划分的备选，0和1之间、1和2之间、2和3之间，直到5和6之间。这六个位置，都可以将数组划分为两部分。我们设定，数组长度为n，i将数据划分为两部分分别为 [0,i-1]和[i,n-1]。都是两边包含的集合。i是从1到n-1的。

对于任意的i，我们得到了两部分[0, i-1]和[i, n-1]。接下来，就是在这两部分中，找到一个和最小的子数组A，以及和最大的子数组B。那么A-B的绝对值，就是i这个划分下，满足条件的两个数组的差的最大值。对于，所有的i而言，这个绝对值最大时的A和B就是我们要找到的。如果能找到每一个划分的最大值，最小值，则遍历一边就得到结果，O(n)搞定。那最大值最小值可以O(n)搞定么？

思路更进一步，接下来要确定，找到在i处划分，和最大以及和最小的子数组的方法。这里，就要使用到我们之前分享的一个题目的思路。那篇文章，大家好好阅读分析了么。相信一定能够给大家带来很多的启发。回到这个题目，我们考虑，给定一个数组，求和最大的子数组以及和最小的子数组。

先分析和最大的子数组，这个问题，是比较经典的问题了，但是我们这里要处理的是，求得每一个i左侧的最大连续子数组。作如下分析，假设数组为X, 假设max_until[i]表示，以i位置结尾的连续子数组的最大和。max_until[i]和max_until[i-1]是什么关系呢？

• 如果X[i] + max_until[i - 1] > max_until[i - 1] and X[i] + max_until[i - 1] > X[i]。那么X[i]应该加入到连续子数组中，max_until[i] = max_until[i-1] + X[i].

• 否则max_until[i] = X[i]，连续子数组只有一个元素。

但是，我们要的并不是以i结尾的子数组，尽管给的例子中是这样的，我们要的是i之前的所有连续子数组中，和最大的。并不一定包括i。要如何处理呢？我们再开辟子数组max_left[i]表示[0,i]中连续子数组的最大值。那这个值要如何求得呢？我们在遍历数组，求得max_until[i]的时候，max_left[i]只需要在max_until[i]和此前保存的最大值里取最大的即可。也就是一次遍历，就可以完全求得max_until数组和max_left数组。同理可以求得min_until以及min_left数组。其实在求最大值的时候，并不需要max_left。那么这里为什么还要开辟空间呢？后面有答案。

这是处理的划分的左半部分。那么右半部分呢？

右半部分的思路也是一样的，只不过，我们在遍历数组的时候，需要从右向左进行遍历。

总结整个方法的流程如下：

• 从左向右遍历数组，计算max_left和min_left数组，O(n)时间复杂度

• 从右向左遍历数组，计算max_right和min_right数组，O(n)时间复杂度

• 然后对于每一个i，i从1开始到n-1,计算max_left[i - 1] - min_right[i], max_right[i] - min_left[i - 1]。选取绝对值最大的。

方法的整体空间复杂度为O(n),时间复杂度也是O(n)。

总结

这个题目，其实是采用动态规划解决最大连续子数组和问题的变种，又多了一层思考。面试者在遇到一个新的题目的时候，不要慌乱，对问题进行仔细分析，进而对其进行分解，分解为自己熟悉的问题。那问题也就解决了。

代码

/**
 * 给定一个数组，我们可以找到两个不相交的、并且是连续的子数组A和B，
 * A中的数字和为sum(A), B中的元素和为sum(B)。
 * 找到这样的A和B，满足sum(A) - sum(B)的绝对值是最大的。
 * */
public static int maxSubtractTwoSubArray(int[] nums){
    int n = nums.length;

    int[] maxLeft = new int[n];
    int[] minLeft = new int[n];
    int localMax=nums[0];
    int localMin=nums[0];
    maxLeft[0]=nums[0];
    minLeft[0]=nums[0];
    for(int i=1; i<n; i++){
        localMax=Math.max(localMax+nums[i], nums[i]);
        maxLeft[i]=Math.max(maxLeft[i-1], localMax);

        localMin=Math.min(localMin+nums[i], nums[i]);
        minLeft[i]=Math.min(minLeft[i-1], localMin);
    }

    int[] maxRight = new int[n];
    int[] minRight = new int[n];
    localMax=nums[n-1];
    localMin=nums[n-1];
    for(int i=n-2; i>=0; i--){
        localMax=Math.max(localMax+nums[i], nums[i]);
        maxRight[i]=Math.max(maxRight[i+1], localMax);

        localMin=Math.min(localMin+nums[i], nums[i]);
        minRight[i]=Math.min(minRight[i+1], localMin);
    }

    int result=Integer.MIN_VALUE;
    for(int i=1; i<n; i++){
        result=Math.max(result, maxLeft[i-1]-minRight[i]);
        result=Math.max(result, maxRight[i]-minLeft[i-1]);
    }

    return result;
}