【CH5101】LCIS

最长公共上升子序列的模板题，仿照LCS和LIS的状态定义方式，我们定义f[i][j]表示a1~ai与b1~bj构成的以bj结尾的LCIS的长度，显然答案为max{f[n][i]}.

当ai≠bj时，f[i][j]=f[i-1][j].

当ai=bj时，f[i][j]=max{f[i-1][k]+1}   (b[k]<b[j])

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
inline int read() {
    int ret=0,f=1;
    char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9') {if(c=='-') f=-1;c=getchar();}
    while(c<='9'&&c>='0') ret=ret*10+c-'0',c=getchar();
    return ret*f;
}
using namespace std;
int n,a[3010],b[3010],f[3010][3010];
int main() {
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
    for(int i=1;i<=n;i++) b[i]=read();
    a[0]=b[0]=-999999999;
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        for(int j=1;j<=n;j++) {
            if(a[i]==b[j]) {
                for(int k=0;k<j;k++)
                    if(b[k]<a[i]) f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][k]+1);
            }
            else f[i][j]=f[i-1][j];
        }
    }
    int ans=0;
    for(int i=0;i<=n;i++)    
        ans=max(ans,f[n][i]);
    printf("%d",ans);
    return 0;
}

时间复杂度为O(n³)。当n=3000时无法通过。

仔细思考：第二层循环当j变为j+1时，i是一个定值，也就是说bk<ai的条件是固定的。当j增加1时，k的取值范围从0≤k<j变为0≤k<j+1.而0≤k<j的部分我们已经计算过一遍，因此，我们用一个变量记录0≤k<j当中f[i-1][k]的最大值，在与新的f[i-1][k]比较，这样就能在O(1)的时间里完成转移。因此时间复杂度降为O(n²)。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
inline int read() {
    int ret=0,f=1;
    char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9') {if(c=='-') f=-1;c=getchar();}
    while(c<='9'&&c>='0') ret=ret*10+c-'0',c=getchar();
    return ret*f;
}
using namespace std;
int n,a[3010],b[3010],f[3010][3010];
int main() {
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&b[i]);
    a[0]=b[0]=-999999999;
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        int val=0;
        if(b[0]<a[i]) val=f[i-1][0];
        for(int j=1;j<=n;j++) {
            if(a[i]==b[j]) f[i][j]=val+1;
            else f[i][j]=f[i-1][j];
            if(b[j]<a[i]) val=max(val,f[i-1][j]);
        }
    }
    int ans=0;
    for(int i=0;i<=n;i++)    
        ans=max(ans,f[n][i]);
    printf("%d",ans);
    return 0;
}